2進数⇔10進数⇔16進数の変換、どこで詰まる？重み表で一発整理【高2情報】

皆さんは普段、数を数えるときに10進数を使っていますね。しかし、コンピュータの世界では2進数が基本となり、プログラミングなどでは16進数もよく使われます。これらの異なる「数え方」を理解し、互いに変換できるようになることは、情報科学を学ぶ上で非常に重要です。

1. 各進数の基本

数を表現する方法には、いくつかの種類があります。それぞれの進数には「基数」があり、その基数の数だけ数字を使って数を表現します。例えば、10進数は0から9までの10個の数字を使います。

• 10進数 (Decimal)

* 基数: 10

* 使用する数字: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

* 私たちが日常的に使っている数の表現です。

• 2進数 (Binary)

* 基数: 2

* 使用する数字: 0, 1

* コンピュータが情報を扱う際に利用する数の表現です。電気信号のON/OFF（1/0）に対応します。

• 16進数 (Hexadecimal)

* 基数: 16

* 使用する数字: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

* Aは10、Bは11、Cは12、Dは13、Eは14、Fは15を表します。

* 2進数を簡潔に表現するために使われます。2進数の4桁が16進数の1桁に対応するため、コンピュータのデータ（メモリのアドレスや色情報など）を表す際によく用いられます。

2. 変換の原理：位取り記数法

どの進数も、数字の位置（位）によってその値が決まる「位取り記数法」で表現されています。例えば、10進数の $123$ は、次のように考えることができます。

$$1 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 3 \times 10^0 = 100 + 20 + 3 = 123$$

この考え方は、他の進数にも応用できます。

3. 各種変換方法

3-1. 10進数から他の進数への変換

10進数を他の進数（2進数や16進数）に変換するには、「割り算の繰り返し」を使います。変換したい進数の基数で商が0になるまで割り続け、余りを下から順に読みます。

例1: 10進数 $13$ を2進数に変換する

1. $13 \text{ ÷ } 2 = 6 \text{ 余り } 1$
2. $6 \text{ ÷ } 2 = 3 \text{ 余り } 0$
3. $3 \text{ ÷ } 2 = 1 \text{ 余り } 1$
4. $1 \text{ ÷ } 2 = 0 \text{ 余り } 1$

余りを下から読むと $1101_2$ となります。

答え: $1101_2$

例2: 10進数 $255$ を16進数に変換する

1. $255 \text{ ÷ } 16 = 15 \text{ 余り } 15$ (F)
2. $15 \text{ ÷ } 16 = 0 \text{ 余り } 15$ (F)

余りを下から読むと $FF_{16}$ となります。

答え: $FF_{16}$

3-2. 他の進数から10進数への変換

2進数や16進数を10進数に変換するには、「桁の重みを計算して足し合わせる」方法を使います。各桁の数字に、その桁の重み（基数のべき乗）を掛け、それらをすべて合計します。

例1: 2進数 $1101_2$ を10進数に変換する

$$1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$$

$$= 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1$$

$$= 8 + 4 + 0 + 1 = 13$$

答え: $13_{10}$

例2: 16進数 $A3_{16}$ を10進数に変換する

16進数のAは10進数の10に相当します。

$$A \times 16^1 + 3 \times 16^0$$

$$= 10 \times 16 + 3 \times 1$$

$$= 160 + 3 = 163$$

答え: $163_{10}$

3-3. 2進数と16進数の相互変換

2進数と16進数は、基数が $2^4 = 16$ という関係にあるため、直接変換することができます。2進数の4桁が16進数の1桁に対応します。

2進数を16進数に変換する

2進数を右から4桁ずつ区切り、それぞれの4桁の2進数を16進数1桁に変換します。左端が4桁に満たない場合は、先頭に0を加えて4桁にします。

例: 2進数 $10110110_2$ を16進数に変換する

1. 右から4桁ずつ区切る: $1011 \text{ } 0110$
2. それぞれのブロックを10進数に変換し、さらに16進数に変換する:

* $1011_2 = 8+0+2+1 = 11_{10} = B_{16}$

* $0110_2 = 0+4+2+0 = 6_{10} = 6_{16}$

答え: $B6_{16}$

16進数を2進数に変換する

16進数の各桁を、対応する4桁の2進数に変換します。

例: 16進数 $E5_{16}$ を2進数に変換する

1. 各桁を10進数に変換する:

* $E_{16} = 14_{10}$

* $5_{16} = 5_{10}$

1. 10進数を4桁の2進数に変換する:

* $14_{10} = 1110_2$

* $5_{10} = 0101_2$

答え: $11100101_2$

4. まとめとポイント

• 10進数 $\to$ その他: 変換したい進数の基数で割り算を繰り返し、余りを下から読む。
• その他 $\to$ 10進数: 各桁の数字に基数のべき乗（重み）を掛けて足し合わせる。
• 2進数 $\rightleftharpoons$ 16進数: 2進数の4桁が16進数の1桁に対応する。この関係を利用して、直接変換できる。

これらの変換方法は、コンピュータがどのように情報を処理しているかを理解する上で非常に重要です。繰り返し練習して、スムーズに変換できるようになりましょう。