二次関数の平方完成、係数aで括る位置はどこ？迷わない4手順【高1数学】

二次関数の式を「平方完成」する方法を学びましょう。平方完成は、二次関数のグラフの頂点の座標や軸の方程式を求めるためにとても大切な変形です。

平方完成とは？

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の形（一般形）を、$y = a(x-p)^2 + q$ の形（標準形）に変形することです。この標準形にすることで、頂点が $(p, q)$、軸が直線 $x=p$ であることがすぐにわかります。

平方完成の基本的な考え方

平方完成は、「$(x + \text{〇})^2$」や「$(x - \text{〇})^2$」といった「2乗の形」を作り出すことを目指します。

例えば、$(x+A)^2 = x^2 + 2Ax + A^2$ という展開公式を思い出してください。

$x^2 + 2Ax$ という部分があれば、これに $A^2$ を足すことで $(x+A)^2$ という形にすることができます。

平方完成の手順

具体的な例を通して、手順を一つずつ見ていきましょう。

例1: $y = x^2 + 6x + 5$ を平方完成する

1. $x^2$ の係数が1であることを確認する

この例では $x^2$ の係数は1なので、そのまま進めます。

1. $x$ の項の係数に注目する

$x$ の項は $6x$ なので、係数は $6$ です。

1. $(x + \text{〇})^2$ の形を作るために必要な数を考える

$(x+A)^2 = x^2 + 2Ax + A^2$ と比較すると、$2A = 6$ なので $A = 3$ です。

つまり、$x^2 + 6x$ の部分を $(x+3)^2$ の形にするには $3^2 = 9$ が必要です。

1. 必要な数を足して、同じ数を引く

$$y = x^2 + 6x + 9 - 9 + 5$$

このように、必要な数 ($9$) を足してすぐに引くことで、式の値を変えずに変形できます。

1. 2乗の形を作り、残りの数を計算する

$$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5$$

$$y = (x+3)^2 - 4$$

これで平方完成ができました。この二次関数の頂点は $(-3, -4)$、軸は直線 $x=-3$ です。

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例2: $y = 2x^2 - 8x + 3$ を平方完成する

1. $x^2$ の係数をくくり出す

$x^2$ の係数 $2$ を、$x^2$ の項と $x$ の項からくくり出します。

$$y = 2(x^2 - 4x) + 3$$

※定数項 ($+3$) はくくり出しません。

1. かっこ内の $x$ の項の係数に注目する

かっこ内は $x^2 - 4x$ なので、$x$ の係数は $-4$ です。

1. $(x - \text{〇})^2$ の形を作るために必要な数を考える

$(x-A)^2 = x^2 - 2Ax + A^2$ と比較すると、$-2A = -4$ なので $A = 2$ です。

つまり、$x^2 - 4x$ の部分を $(x-2)^2$ の形にするには $2^2 = 4$ が必要です。

1. かっこ内に必要な数を足して、その分を外で引く

$$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3$$

$$y = 2((x^2 - 4x + 4) - 4) + 3$$

ここで注意が必要です。かっこ内の $-4$ は、外に出すときにくくり出した係数 ($2$) をかける必要があります。

$$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 \times 4 + 3$$

$$y = 2(x-2)^2 - 8 + 3$$

1. 残りの数を計算する

$$y = 2(x-2)^2 - 5$$

これで平方完成ができました。この二次関数の頂点は $(2, -5)$、軸は直線 $x=2$ です。

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例3: $y = -x^2 - 4x + 1$ を平方完成する

1. $x^2$ の係数をくくり出す

$x^2$ の係数 $-1$ を、$x^2$ の項と $x$ の項からくくり出します。

$$y = -(x^2 + 4x) + 1$$

1. かっこ内の $x$ の項の係数に注目する

かっこ内は $x^2 + 4x$ なので、$x$ の係数は $4$ です。

1. $(x + \text{〇})^2$ の形を作るために必要な数を考える

$(x+A)^2 = x^2 + 2Ax + A^2$ と比較すると、$2A = 4$ なので $A = 2$ です。

つまり、$x^2 + 4x$ の部分を $(x+2)^2$ の形にするには $2^2 = 4$ が必要です。

1. かっこ内に必要な数を足して、その分を外で引く

$$y = -(x^2 + 4x + 4 - 4) + 1$$

$$y = -((x^2 + 4x + 4) - 4) + 1$$

かっこ内の $-4$ を外に出すとき、くくり出した係数 ($-1$) をかけます。

$$y = -(x^2 + 4x + 4) - (-1) \times 4 + 1$$

$$y = -(x+2)^2 + 4 + 1$$

1. 残りの数を計算する

$$y = -(x+2)^2 + 5$$

これで平方完成ができました。この二次関数の頂点は $(-2, 5)$、軸は直線 $x=-2$ です。

平方完成のポイントまとめ

• 目標: $y = a(x-p)^2 + q$ の形にする。
• 手順1: $x^2$ の係数が1でない場合は、まずその係数を $x^2$ と $x$ の項からくくり出す。
• 手順2: かっこ内の $x$ の係数を半分にして2乗した数を、かっこ内に「足して引く」。
• 手順3: 2乗の形を作り、かっこを外すときに、くくり出した係数を忘れずに掛ける。
• 手順4: 残りの定数項を計算してまとめる。

平方完成は、二次関数を理解する上で非常に重要なスキルです。繰り返し練習して、スムーズにできるようになりましょう。