二次関数の対称移動どっち符号を変える？一発で決まる手順【高1数学】

はじめに

二次関数のグラフは、放物線という美しい形をしていますね。このグラフを、まるで鏡に映したように、ある軸を基準に「ひっくり返す」操作を「対称移動」といいます。今回は、特に「x軸」と「y軸」に関する対称移動について、その考え方と式の変化を学んでいきましょう。

グラフの対称移動とは

グラフの対称移動とは、ある図形（この場合は二次関数のグラフ）上のすべての点を、特定の直線（対称軸）や点（対称の中心）に関して対称な位置に移動させることです。その結果、移動後の図形は元の図形と合同になります。

x軸に関する対称移動

グラフをx軸に関して対称移動するということは、グラフ上のすべての点 $(x, y)$ を、x座標はそのままに、y座標の符号だけを変えた点 $(x, -y)$ に移動させるということです。

式の変化の考え方

元の二次関数の式を $y = f(x)$ とします。このグラフ上の点 $(x, y)$ がx軸に関して対称移動した点を $(X, Y)$ とすると、

$$X = x$$

$$Y = -y$$

という関係が成り立ちます。これを $x, y$ について解くと、

$$x = X$$

$$y = -Y$$

となります。これらの $x, y$ を元の式 $y = f(x)$ に代入すると、

$$-Y = f(X)$$

となります。ここで、大文字の $X, Y$ を元の小文字の $x, y$ に戻して、対称移動後のグラフの式は

$$-y = f(x)$$ または $$y = -f(x)$$

となります。つまり、元の式の $y$ を $-y$ に置き換える、と覚えましょう。

具体例

二次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ のグラフをx軸に関して対称移動してみましょう。

元の式は $y = x^2 - 4x + 3$ です。

この式の $y$ を $-y$ に置き換えると、

$$-y = x^2 - 4x + 3$$

両辺に $-1$ を掛けて $y$ について解くと、

$$y = -(x^2 - 4x + 3)$$

$$y = -x^2 + 4x - 3$$

これが、x軸に関して対称移動した後の二次関数の式です。

解説: 元の関数 $y = x^2 - 4x + 3$ の頂点は $(2, -1)$ です。x軸に関して対称移動した後の関数 $y = -x^2 + 4x - 3$ の頂点は $(2, 1)$ となります。x座標は変わらず、y座標の符号が逆になっていることが確認できますね。

y軸に関する対称移動

グラフをy軸に関して対称移動するということは、グラフ上のすべての点 $(x, y)$ を、y座標はそのままに、x座標の符号だけを変えた点 $(-x, y)$ に移動させるということです。

式の変化の考え方

元の二次関数の式を $y = f(x)$ とします。このグラフ上の点 $(x, y)$ がy軸に関して対称移動した点を $(X, Y)$ とすると、

$$X = -x$$

$$Y = y$$

という関係が成り立ちます。これを $x, y$ について解くと、

$$x = -X$$

$$y = Y$$

となります。これらの $x, y$ を元の式 $y = f(x)$ に代入すると、

$$Y = f(-X)$$

となります。ここで、大文字の $X, Y$ を元の小文字の $x, y$ に戻して、対称移動後のグラフの式は

$$y = f(-x)$$

となります。つまり、元の式の $x$ を $-x$ に置き換える、と覚えましょう。

具体例

二次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ のグラフをy軸に関して対称移動してみましょう。

元の式は $y = x^2 - 4x + 3$ です。

この式の $x$ を $-x$ に置き換えると、

$$y = (-x)^2 - 4(-x) + 3$$

$$y = x^2 + 4x + 3$$

これが、y軸に関して対称移動した後の二次関数の式です。

解説: 元の関数 $y = x^2 - 4x + 3$ の頂点は $(2, -1)$ です。y軸に関して対称移動した後の関数 $y = x^2 + 4x + 3$ の頂点は $(-2, -1)$ となります。y座標は変わらず、x座標の符号が逆になっていることが確認できますね。

まとめ

グラフの対称移動のルールは以下の通りです。

• x軸に関する対称移動: 式の $y$ を $-y$ に置き換える。

例: $y = f(x)$ → $-y = f(x)$ または $y = -f(x)$

• y軸に関する対称移動: 式の $x$ を $-x$ に置き換える。

例: $y = f(x)$ → $y = f(-x)$

これらのルールは二次関数だけでなく、他の関数（直線、円、三角関数など）のグラフにも共通して適用できる大切な考え方です。

確認問題

二次関数 $y = 2x^2 + 8x + 5$ について、次の問いに答えなさい。

1. このグラフをx軸に関して対称移動したときの二次関数の式を求めなさい。
2. このグラフをy軸に関して対称移動したときの二次関数の式を求めなさい。

解答と解説

元の二次関数は $y = 2x^2 + 8x + 5$ です。

1. x軸に関する対称移動

* 考え方: x軸に関する対称移動は、式の $y$ を $-y$ に置き換えます。

* 計算:

$$-y = 2x^2 + 8x + 5$$

$$y = -(2x^2 + 8x + 5)$$

$$y = -2x^2 - 8x - 5$$

* 解説: 元の関数 $y = 2x^2 + 8x + 5$ の頂点は、平方完成すると $y = 2(x^2 + 4x) + 5 = 2(x+2)^2 - 8 + 5 = 2(x+2)^2 - 3$ なので $(-2, -3)$ です。対称移動後の $y = -2x^2 - 8x - 5$ を平方完成すると $y = -2(x^2 + 4x) - 5 = -2(x+2)^2 + 8 - 5 = -2(x+2)^2 + 3$ となり、頂点は $(-2, 3)$ です。x座標は変わらず、y座標の符号が逆になっていることがわかります。

1. y軸に関する対称移動

* 考え方: y軸に関する対称移動は、式の $x$ を $-x$ に置き換えます。

* 計算:

$$y = 2(-x)^2 + 8(-x) + 5$$

$$y = 2x^2 - 8x + 5$$

* 解説: 元の関数 $y = 2x^2 + 8x + 5$ の頂点は $(-2, -3)$ です。対称移動後の $y = 2x^2 - 8x + 5$ を平方完成すると $y = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2(x-2)^2 - 8 + 5 = 2(x-2)^2 - 3$ となり、頂点は $(2, -3)$ です。y座標は変わらず、x座標の符号が逆になっていることがわかります。