回転体の体積x軸y軸まわりの積分どっちの手順?【高3数学】

回転体の体積の計算で、x軸まわりとy軸まわりの積分の書き方が混乱するとのこと、よくある悩みですね。この教材では、それぞれの基本的な考え方と手順を、具体例を交えながら丁寧に解説していきます。

回転体とは？

平面上の図形を、ある直線を軸として1回転させてできる立体を「回転体」といいます。その体積を求めるには、積分が非常に有効です。

1. x軸まわりの回転体の体積

関数 $y = f(x)$ とx軸、そして2つの直線 $x=a$, $x=b$ ($a < b$) で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を考えます。

考え方

1. 薄い円盤（ディスク）で考える: 回転体をx軸に垂直に、厚さ $dx$ の非常に薄いスライスで切断すると、それぞれのスライスは半径 $y = f(x)$ の円盤（円板）とみなせます。
2. 円盤の体積: この薄い円盤の体積は、「底面積 $\times$ 高さ」で計算できます。底面積は $\pi \times (\text{半径})^2 = \pi \{f(x)\}^2$、高さは $dx$ です。よって、1つの円盤の体積は $\pi \{f(x)\}^2 dx$ となります。
3. 積分の範囲: これらの薄い円盤を $x=a$ から $x=b$ まで積み重ねることで、全体の体積を求めることができます。

公式

$$V = \int_{a}^{b} \pi \{f(x)\}^2 dx$$

手順

1. 軸の確認: 回転軸がx軸であることを確認します。
2. 半径の特定: x軸からの距離、つまり $y=f(x)$ が回転体の半径になります。
3. 積分区間の設定: 回転する図形のx座標の範囲（$a$ から $b$）を特定します。
4. 積分を実行: 公式に当てはめて計算します。

例題1：x軸まわりの回転体

曲線 $y = \sqrt{x}$ とx軸、直線 $x=0$, $x=4$ で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めなさい。

解答と解説

1. 回転軸はx軸です。
2. 回転体の半径は $y = \sqrt{x}$ です。
3. 積分区間は $x=0$ から $x=4$ です。
4. 公式に当てはめて計算します。

$$V = \int_{0}^{4} \pi (\sqrt{x})^2 dx$$

$$V = \int_{0}^{4} \pi x dx$$

$$V = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{4}$$

$$V = \pi \left( \frac{1}{2}(4)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 \right)$$

$$V = \pi \left( \frac{1}{2} \times 16 - 0 \right)$$

$$V = 8\pi$$

2. y軸まわりの回転体の体積

関数 $x = g(y)$ とy軸、そして2つの直線 $y=c$, $y=d$ ($c < d$) で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を考えます。

考え方

基本的な考え方はx軸まわりの場合と同じですが、軸がy軸になるため、変数もyに合わせる必要があります。

1. 薄い円盤（ディスク）で考える: 回転体をy軸に垂直に、厚さ $dy$ の非常に薄いスライスで切断すると、それぞれのスライスは半径 $x = g(y)$ の円盤とみなせます。
2. 円盤の体積: この薄い円盤の体積は $\pi \times (\text{半径})^2 \times \text{高さ} = \pi \{g(y)\}^2 dy$ となります。
3. 積分の範囲: これらの薄い円盤を $y=c$ から $y=d$ まで積み重ねることで、全体の体積を求めることができます。

公式

$$V = \int_{c}^{d} \pi \{g(y)\}^2 dy$$

手順

1. 軸の確認: 回転軸がy軸であることを確認します。
2. 関数を $x = g(y)$ の形に変形: ここが重要です。与えられた関数が $y=f(x)$ の形の場合は、$x$ について解いて $x$ を $y$ の関数として表現します。
3. 半径の特定: y軸からの距離、つまり $x=g(y)$ が回転体の半径になります。
4. 積分区間の設定: 回転する図形のy座標の範囲（$c$ から $d$）を特定します。
5. 積分を実行: 公式に当てはめて計算します。

例題2：y軸まわりの回転体

曲線 $y = x^2$ とy軸、直線 $y=4$ で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めなさい。

解答と解説

1. 回転軸はy軸です。
2. 関数 $y=x^2$ を $x$ について解くと、$x = \pm\sqrt{y}$ となります。今回はy軸の右側の領域（$x \ge 0$）を回転させるので、$x = \sqrt{y}$ が半径となります。
3. 積分区間は $y=0$ から $y=4$ です。
4. 公式に当てはめて計算します。

$$V = \int_{0}^{4} \pi (\sqrt{y})^2 dy$$

$$V = \int_{0}^{4} \pi y dy$$

$$V = \pi \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_{0}^{4}$$

$$V = \pi \left( \frac{1}{2}(4)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 \right)$$

$$V = \pi \left( \frac{1}{2} \times 16 - 0 \right)$$

$$V = 8\pi$$

混乱しないためのポイント

x軸まわりの回転とy軸まわりの回転で混乱しないために、以下の点を意識しましょう。

• 回転軸と垂直なスライスを考える: 常に回転軸に垂直にスライス（薄く切る）することをイメージしてください。

* x軸まわりの場合 → x軸に垂直なスライス（厚さ $dx$）→ 半径は $y$ の値

* y軸まわりの場合 → y軸に垂直なスライス（厚さ $dy$）→ 半径は $x$ の値

• 積分変数を合わせる:

* x軸まわりの回転体 → 積分変数は $x$ → 半径は $y=f(x)$ の形

* y軸まわりの回転体 → 積分変数は $y$ → 半径は $x=g(y)$ の形（必要なら変形する）

• 図を描く: 必ず図を描いて、どの部分を回転させるのか、半径が何になるのか、積分区間はどこからどこまでなのかを視覚的に確認しましょう。これにより、間違いを大幅に減らすことができます。

この手順とポイントを意識して練習を重ねることで、回転体の体積の計算に自信が持てるようになるはずです。頑張ってください！