二次関数の平行移動どっちの符号を反転?一発で決まる手順【高1数学】

二次関数のグラフの平行移動で、「xとyのどっちの符号を逆にするんだっけ？」という疑問、とてもよくわかります。これは多くの人がつまずきやすいポイントです。この教材で、その疑問をすっきり解消しましょう！

1. グラフの平行移動の基本的な考え方

まず、二次関数に限らず、どんな関数 $y = f(x)$ のグラフを平行移動する場合でも、共通のルールがあります。

• x軸方向への平行移動

* グラフをx軸方向に$p$だけ平行移動するときは、$x$を「$x-p$」に置き換えます。

* 例：x軸方向に $+2$ 移動 → $x$を $x-2$ に置き換え

* 例：x軸方向に $-3$ 移動 → $x$を $x-(-3)$、つまり $x+3$ に置き換え

• y軸方向への平行移動

* グラフをy軸方向に$q$だけ平行移動するときは、$y$を「$y-q$」に置き換えます。

* 例：y軸方向に $+5$ 移動 → $y$を $y-5$ に置き換え

* 例：y軸方向に $-1$ 移動 → $y$を $y-(-1)$、つまり $y+1$ に置き換え

2. 二次関数への応用と符号の秘密

このルールを二次関数 $y = ax^2$ に適用してみましょう。

例： 二次関数 $y = ax^2$ を、$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動する。

1. xの置き換え: $x$ を $x-p$ に置き換えます。

$$y = a(x-p)^2$$

1. yの置き換え: $y$ を $y-q$ に置き換えます。

$$y-q = a(x-p)^2$$

これで平行移動後の式が完成です。しかし、一般的に二次関数の式は $y = \dots$ の形にすることが多いですよね。そこで、この式を $y$ について解いてみましょう。

$$y = a(x-p)^2 + q$$

この最終的な形を見ると、 $x$ の隣にある $p$ は符号が反転している（$+p$ 移動なのに $x-p$）ように見えますが、$q$ は元の移動量と同じ符号（$+q$ 移動なので $+q$）に見えます。

これが、あなたが混乱していた「どっちの符号が逆になるか」の答えです！

• x軸方向の移動量$p$は、式の中では常に「$x-p$」の形で現れるため、移動方向と逆の符号に見えます。
• y軸方向の移動量$q$は、「$y-q = f(x)$」の形から $q$ を右辺に移項することで「$y = f(x) + q$」となるため、移動方向と同じ符号に見えます。

3. 具体例で確認しよう

基本となる関数 $y = x^2$ を使って、具体的に見ていきましょう。

例1: x軸方向への平行移動

• $y = x^2$ を x軸方向に $+3$ だけ平行移動する。

* $x$ を $x-3$ に置き換えるので、式は $y = (x-3)^2$ となります。

* グラフの頂点は $(0,0)$ から $(3,0)$ に移動します。

例2: y軸方向への平行移動

• $y = x^2$ を y軸方向に $-2$ だけ平行移動する。

* $y$ を $y-(-2)$、つまり $y+2$ に置き換えるので、$y+2 = x^2$ となります。

* これを $y$ について解くと $y = x^2 - 2$ となります。

* グラフの頂点は $(0,0)$ から $(0,-2)$ に移動します。

例3: 両方向への平行移動

• $y = x^2$ を x軸方向に $-1$、y軸方向に $+4$ だけ平行移動する。

* $x$ を $x-(-1) \rightarrow x+1$ に置き換え。

* $y$ を $y-4$ に置き換え。

* 元の式 $y = x^2$ に代入すると $y-4 = (x+1)^2$ となります。

* これを $y$ について解くと $y = (x+1)^2 + 4$ となります。

* グラフの頂点は $(0,0)$ から $(-1,4)$ に移動します。

4. まとめ：もう迷わない！

二次関数 $y = ax^2$ のグラフを、$x$軸方向に $p$、$y$軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの式は、

$$y = a(x-p)^2 + q$$

となります。

• x軸方向の移動量 $p$ は、かっこ内の「$x-p$」と符号が逆になります。
• y軸方向の移動量 $q$ は、式の右辺の「$+q$」と符号が同じになります。

このルールをしっかり覚えて、グラフの平行移動をマスターしましょう！