一次関数の式の求め方、2パターンで迷わない手順【中2数学】

一次関数は、$y = ax + b$ という形で表される関数です。この式の中の $a$ と $b$ の値がわかれば、一次関数の式を求めることができます。

$a$ は「傾き」や「変化の割合」と呼ばれ、グラフの傾き具合を示します。

$b$ は「切片」と呼ばれ、グラフがy軸と交わる点のy座標を示します。

今回は、次の2つのパターンで一次関数の式を求める方法を学びましょう。

• 傾きと1つの点がわかっている場合
• 2つの点がわかっている場合

1. 傾きと1つの点がわかっている場合

考え方

一次関数の式は $y = ax + b$ です。傾き $a$ がわかっているので、$a$ の部分にその値を代入します。

そして、与えられた点の座標 $(x, y)$ を $y = ax + b$ の $x$ と $y$ に代入すると、$b$ だけが未知数の方程式になります。この方程式を解けば $b$ の値が求められます。

手順

1. 与えられた傾き $a$ を、$y = ax + b$ の $a$ に代入します。
2. 与えられた点の $x$ 座標と $y$ 座標を、式に代入します。
3. $b$ についての方程式を解き、$b$ の値を求めます。
4. 求めた $a$ と $b$ の値を $y = ax + b$ に代入して、最終的な式を完成させます。

例題1

傾きが $2$ で、点 $(3, 7)$ を通る一次関数の式を求めなさい。

解き方

1. 傾き $a = 2$ なので、$y = 2x + b$ となります。
2. 点 $(3, 7)$ を通るので、$x = 3$, $y = 7$ を $y = 2x + b$ に代入します。

$7 = 2 \times 3 + b$

1. $b$ についての方程式を解きます。

$7 = 6 + b$

$b = 7 - 6$

$b = 1$

1. 求めた $a = 2$ と $b = 1$ を $y = ax + b$ に代入します。

よって、求める一次関数の式は $y = 2x + 1$ です。

2. 2つの点がわかっている場合

考え方

2つの点がわかっている場合は、まずその2点を使って傾き $a$ を求めます。

傾き $a$ が求まれば、あとは「傾きと1つの点がわかっている場合」と同じ方法で切片 $b$ を求めることができます。

傾き $a$ の求め方

2点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ がわかっているとき、傾き $a$ は次の式で求められます。

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

これは、「xの増加量に対するyの増加量の割合」を表しています。

手順

1. 与えられた2つの点を使って、傾き $a$ を求めます。
2. 求めた傾き $a$ と、与えられた2点のどちらか一方の点（計算しやすい方を選びましょう）を $y = ax + b$ に代入します。
3. $b$ についての方程式を解き、$b$ の値を求めます。
4. 求めた $a$ と $b$ の値を $y = ax + b$ に代入して、最終的な式を完成させます。

例題2

2点 $(1, 3)$ と $(4, 9)$ を通る一次関数の式を求めなさい。

解き方

1. まず傾き $a$ を求めます。

点 $(1, 3)$ を $(x_1, y_1)$、点 $(4, 9)$ を $(x_2, y_2)$ とすると、

$a = \frac{9 - 3}{4 - 1}$

$a = \frac{6}{3}$

$a = 2$

1. 求めた傾き $a = 2$ と、どちらかの点（ここでは $(1, 3)$ を使います）を $y = ax + b$ に代入します。

$y = 2x + b$ に $x = 1$, $y = 3$ を代入すると、

$3 = 2 \times 1 + b$

1. $b$ についての方程式を解きます。

$3 = 2 + b$

$b = 3 - 2$

$b = 1$

1. 求めた $a = 2$ と $b = 1$ を $y = ax + b$ に代入します。

よって、求める一次関数の式は $y = 2x + 1$ です。

別解（連立方程式を使う方法）

2点 $(1, 3)$ と $(4, 9)$ を $y = ax + b$ にそれぞれ代入すると、次の2つの式ができます。

点 $(1, 3)$ から: $3 = a \times 1 + b \Rightarrow a + b = 3$ …(1)

点 $(4, 9)$ から: $9 = a \times 4 + b \Rightarrow 4a + b = 9$ …(2)

この(1)と(2)の連立方程式を解いて $a$ と $b$ の値を求めます。

$$(2) - (1) \text{ より:}

(4a + b) - (a + b) = 9 - 3

3a = 6

a = 2$$

$a = 2$ を (1) に代入すると:

$$2 + b = 3

b = 1$$

よって、求める一次関数の式は $y = 2x + 1$ です。

まとめ

一次関数の式 $y = ax + b$ を求めるには、$a$（傾き）と $b$（切片）の2つの値を特定することが目標です。

• 傾きと1点がわかっている場合:

1. $y = ax + b$ の $a$ に傾きの値を代入。

2. 与えられた点の座標を $x, y$ に代入して $b$ を求める。

• 2点がわかっている場合:

1. 2点を使って傾き $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ を求める。

2. 求めた $a$ と、どちらか一方の点の座標を使って $b$ を求める（「傾きと1点」の場合と同じ）。

（または、2点をそれぞれ $y = ax + b$ に代入し、連立方程式として $a$ と $b$ を求める。）

どちらの方法でも、最終的に $a$ と $b$ の値を正しく求められれば、一次関数の式が完成します。繰り返し練習して、スムーズに解けるようになりましょう！