2直線の交点の求め方は連立で一発？手順3ステップ【中2数学】

一次関数は、グラフにすると直線になります。2つの一次関数のグラフが交わる点、それが「交点」です。この交点は、実は連立方程式を解くことで求めることができます。数学の学習では、異なる単元が意外な形でつながることがよくありますね。

交点とは？

交点とは、2つのグラフがただ1つ共有する点のことです。この点では、2つの一次関数$y = ax + b$と$y = cx + d$の$x$座標と$y$座標がどちらも等しくなります。

交点を求める手順

交点を求めるには、以下の手順で連立方程式を解きます。

1. 2つの一次関数の式を$y=$の形で準備する

もし式が$y=$の形になっていなければ、移項などをして$y=$の形に直します。

1. 2つの式の$y$を等しいと置いて、$x$だけの式を作る

2つの一次関数の交点では、$y$の値が等しくなるので、$y$を消去して$x$についての一次方程式を作ります。

たとえば、$y = 2x + 1$と$y = -x + 4$の場合、$2x + 1 = -x + 4$とします。

1. $x$についての一次方程式を解く

手順2でできた$x$だけの一次方程式を解き、$x$の値を求めます。

1. 求めた$x$の値をどちらかの一次関数の式に代入して、$y$の値を求める

$x$の値がわかったら、元のどちらかの一次関数の式に代入して、$y$の値を求めます。

1. 交点の座標を$(x, y)$の形で表す

求めた$x$と$y$の値を組み合わせて、座標の形で答えを書きます。

例題に挑戦！

問1: 次の2つの一次関数の交点の座標を求めなさい。

$y = 2x + 1$

$y = -x + 4$

答え: $(1, 3)$

解説:

1. 式を準備する: 問題の2つの式はすでに$y=$の形になっています。

$$ y = 2x + 1 ag{1} $$

$$ y = -x + 4 ag{2} $$

1. $y$を消去し、$x$だけの式を作る: (1)と(2)の$y$の値は等しいので、右辺同士を等しいと置きます。

$$ 2x + 1 = -x + 4 $$

1. $x$についての一次方程式を解く:

$$ 2x + x = 4 - 1 $$

$$ 3x = 3 $$

$$ x = 1 $$

1. 求めた$x$の値をどちらかの式に代入して、$y$を求める:

求めた$x=1$を(1)の式に代入します。

$$ y = 2(1) + 1 $$

$$ y = 2 + 1 $$

$$ y = 3 $$

※(2)の式に代入しても同じ結果になります。試しに代入してみましょう。

$y = -(1) + 4 = 3$

1. 交点の座標を表す: $x=1$, $y=3$なので、交点の座標は$(1, 3)$となります。

ポイントまとめ

• 一次関数の交点は、連立方程式の解と考えることができます。
• 2つの式の$y$の値を等しいと置くことで、$x$だけの一次方程式になり、これを解けば交点の$x$座標が求まります。
• 求まった$x$座標をどちらかの式に代入すれば、$y$座標が求まります。
• グラフで交わる点は、両方の一次関数の式を同時に満たす唯一の点です。