比例式a:b=c:dの解き方は内側×外側？一発で解くコツ【中1数学】

比例式とは？

比例式は、$a:b = c:d$ のように、比が等しいことを表す式のことです。例えば、「りんご2個とみかん3個の値段の比が、りんご4個とみかん6個の値段の比と同じ」といった状況を数で表すときに使われます。

比例式の解き方：内項の積と外項の積

比例式を解くには、とても便利なルールがあります。それは、「外側の数どうしをかけた積と、内側の数どうしをかけた積が等しくなる」というものです。

$a:b = c:d$

この比例式で考えると、

• 外側の数（外項）は $a$ と $d$
• 内側の数（内項）は $b$ と $c$

になります。そして、このルールを使うと、次の等式が成り立ちます。

$$ad = bc$$

これを「外項の積は内項の積に等しい」と呼びます。

なぜこの方法で解けるの？（等式の性質）

「外項の積は内項の積に等しい」というルールは、実は等式の性質から導くことができます。

比 $a:b$ は分数で $\frac{a}{b}$ と表すことができますね。同じように $c:d$ は $\frac{c}{d}$ と表せます。

したがって、比例式 $a:b = c:d$ は、分数の等式として次のように書けます。

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

この両辺に、$b$ と $d$ の最小公倍数である $bd$ をかけてみましょう。

$$\frac{a}{b} \times bd = \frac{c}{d} \times bd$$

左辺では $b$ が、右辺では $d$ が約分されます。

$$a \times d = c \times b$$

つまり、

$$ad = bc$$

となります。このように、等式の性質を使えば、この便利なルールが成り立つことがわかりますね。

例題でやってみよう！

例題1

問1

次の比例式を解きなさい。

$x:4 = 6:8$

答え:

$x=3$

解説:

1. 外側の数と内側の数を確認します。

* 外側の数: $x$ と $8$

* 内側の数: $4$ と $6$

1. 「外項の積 = 内項の積」の式を作ります。

$x \times 8 = 4 \times 6$

$8x = 24$

1. 一次方程式として解きます。

両辺を $8$ で割ります。

$\frac{8x}{8} = \frac{24}{8}$

$x = 3$

例題2

問2

次の比例式を解きなさい。

$(x+1):3 = 4:6$

答え:

$x=1$

解説:

1. 外側の数と内側の数を確認します。

* 外側の数: $(x+1)$ と $6$

* 内側の数: $3$ と $4$

1. 「外項の積 = 内項の積」の式を作ります。

このとき、$(x+1)$ のように式になっている場合は、必ずかっこ（）をつけてかけ算してください。

$(x+1) \times 6 = 3 \times 4$

$6(x+1) = 12$

1. 一次方程式として解きます。

分配法則を使ってかっこを外します。

$6x + 6 = 12$

両辺から $6$ を引きます。

$6x = 12 - 6$

$6x = 6$

両辺を $6$ で割ります。

$\frac{6x}{6} = \frac{6}{6}$

$x = 1$

まとめ

比例式を解くときのポイントは次の2つです。

• $a:b = c:d$ の形をした比例式は、「外項の積は内項の積に等しい」というルールを使って $ad = bc$ の方程式に変換できる。
• 複雑な式が比に含まれる場合は、かっこ（）をつけて計算する。

このルールをしっかり覚えて、色々な比例式の問題に挑戦してみてくださいね。