回転体の体積どっちで積分する？x軸まわりπ∫y²dx・y軸まわりπ∫x²dyの見分け方【高3数学】

高校数学Ⅲで学ぶ回転体の体積は、定積分の応用の中でも特に重要なテーマの一つです。図形を回転させてできる立体の体積を求める際に、どの軸のまわりに回転させるかによって、積分の式が変わってきます。ここでは、x軸まわりの回転体とy軸まわりの回転体の体積の求め方、そしてその使い分けについて解説します。

1. 回転体の体積の基本的な考え方

回転体の体積は、基本的には「円盤の積み重ね」として考えます。ある区間において、回転軸に垂直な断面を考えると、その断面は円になります。この円の面積を積分することで、立体の体積を求めることができます。

2. x軸まわりの回転体の体積

関数 $y = f(x)$ とx軸、直線 $x=a$、直線 $x=b$ ($a < b$) で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 $V_x$ を考えます。

• 考え方: x軸上の点 $x$ における断面は、半径が $f(x)$ の円になります。この円の面積は $\pi \{f(x)\} ^2$ です。この円を $x=a$ から $x=b$ まで積み重ねることで体積を求めます。
• 公式: $$V_x = \pi \int_a^b \{f(x)\} ^2 dx$$

例題1: 曲線 $y = x^2$ とx軸、直線 $x=1$、直線 $x=2$ で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

答え: $\frac{31}{5}\pi$

解説:

与えられた関数は $f(x) = x^2$ であり、積分区間は $x=1$ から $x=2$ です。x軸まわりの回転体の体積の公式に代入します。

$$V_x = \pi \int_1^2 (x^2)^2 dx$$

$$V_x = \pi \int_1^2 x^4 dx$$

$$V_x = \pi \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_1^2$$

$$V_x = \pi \left( \frac{1}{5}(2)^5 - \frac{1}{5}(1)^5 \right)$$

$$V_x = \pi \left( \frac{32}{5} - \frac{1}{5} \right)$$

$$V_x = \frac{31}{5}\pi$$

3. y軸まわりの回転体の体積

関数 $x = g(y)$ とy軸、直線 $y=c$、直線 $y=d$ ($c < d$) で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 $V_y$ を考えます。

• 考え方: y軸上の点 $y$ における断面は、半径が $g(y)$ の円になります。この円の面積は $\pi \{g(y)\} ^2$ です。この円を $y=c$ から $y=d$ まで積み重ねることで体積を求めます。
• 公式: $$V_y = \pi \int_c^d \{g(y)\} ^2 dy$$

ポイント: y軸まわりの回転体を考える場合、関数を $x = g(y)$ の形に変形する必要があります。つまり、$x$ を $y$ の関数として表します。

例題2: 曲線 $y = x^2$ とy軸、直線 $y=1$、直線 $y=4$ で囲まれた部分（$x \ge 0$ の範囲）をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

答え: $\frac{15}{2}\pi$

解説:

まず、関数 $y = x^2$ を $x$ について解きます。$x = \pm \sqrt{y}$ となりますが、$x \ge 0$ の範囲なので $x = \sqrt{y}$ となります。したがって、$g(y) = \sqrt{y}$ です。積分区間は $y=1$ から $y=4$ です。y軸まわりの回転体の体積の公式に代入します。

$$V_y = \pi \int_1^4 (\sqrt{y})^2 dy$$

$$V_y = \pi \int_1^4 y dy$$

$$V_y = \pi \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_1^4$$

$$V_y = \pi \left( \frac{1}{2}(4)^2 - \frac{1}{2}(1)^2 \right)$$

$$V_y = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right)$$

$$V_y = \pi \left( 8 - \frac{1}{2} \right)$$

$$V_y = \frac{15}{2}\pi$$

4. x軸まわりとy軸まわりの使い分けのポイント

回転体の体積を求める際に、x軸まわりとy軸まわりのどちらの公式を使うべきかは、以下の点に基づいて判断します。

• 回転軸の確認: まず、問題文でどの軸のまわりに回転させるかが指定されているかを確認します。
• 関数の形:

* x軸まわりに回転させる場合は、関数が $y = f(x)$ の形で与えられていると計算がしやすいです。積分変数は $x$ となります。

* y軸まわりに回転させる場合は、関数を $x = g(y)$ の形に変形できると計算がしやすいです。積分変数は $y$ となります。

• 計算のしやすさ:

* 与えられた関数が $y = f(x)$ の形であれば、そのままx軸まわりの公式を使うのが自然です。

* 与えられた関数が $x = g(y)$ の形であれば、そのままy軸まわりの公式を使うのが自然です。

* もし $y = f(x)$ の形で与えられていてy軸まわりに回転させる場合、 $x = g(y)$ の形に変形するのが難しい、あるいは積分が複雑になる場合は、別の方法（例えば、高校数学の範囲外となることもありますが、円筒殻法（バームクーヘン法）など）を検討することもあります。しかし、基本的には $x = g(y)$ の形に変形して積分することを考えます。

まとめ:

回転体の体積を求める際は、回転軸と関数の形をよく確認し、適切な公式と積分変数を選択することが重要です。特にy軸まわりの回転では、関数を $x$ を $y$ の関数として表すことを忘れないようにしましょう。