【高2数学】三角関数の基礎：単位円で考えると一気に楽になるAI解説

はじめに

高校数学における三角関数は、物理学や工学など様々な分野で応用される重要な概念です。「数学I」では鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）の「三角比」として学びましたが、「数学II」ではその範囲を一般の角に拡張し、「三角関数」として学びます。ここでは、三角関数の基本的な定義、そしてそれらの間に成り立つ「相互関係」について、単位円を用いて基礎から丁寧に解説していきます。

1. 単位円を使った三角関数の定義

「三角関数」を考える上で最も重要なツールが「単位円」です。単位円とは、原点を中心とする半径1の円のことです。

1-1. 角の定義

1. 座標平面上で、原点Oを中心とし、半径が1の円を考えます。これを単位円といいます。
2. $x$軸の正の部分を始線とします。
3. 始線から反時計回りに測った角を正の角、時計回りに測った角を負の角とします。
4. 角$\theta$の動径と単位円との交点をP$(x, y)$とします。

1-2. $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$の定義

単位円上の点P$(x, y)$を用いると、角$\theta$に対する三角関数は次のように定義されます。

• サイン（sine）: $\sin\theta = y$座標
• コサイン（cosine）: $\cos\theta = x$座標
• タンジェント（tangent）: $\tan\theta = \frac{y}{x}$（ただし、$x \neq 0$）

ポイント: $\sin\theta$はPの$y$座標、$\cos\theta$はPの$x$座標として定義されるため、その値の範囲は$-1 \\le \sin\theta \\le 1$、$-1 \\le \cos\theta \\le 1$となります。$\tan\theta$は$x=0$（つまり$\theta = 90^\circ + 180^\circ n$ ($n$は整数)）のときに定義されません。

1-3. 各象限での符号

単位円の定義から、各象限における$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$の符号は以下のようになります。

象限	角の範囲	$x$座標 ($\cos\theta$)	$y$座標 ($\sin\theta$)	$\frac{y}{x}$ ($\tan\theta$)
第1象限	$0^\circ < \theta < 90^\circ$	$+$	$+$	$+$
第2象限	$90^\circ < \theta < 180^\circ$	$-$	$+$	$-$
第3象限	$180^\circ < \theta < 270^\circ$	$-$	$-$	$+$
第4象限	$270^\circ < \theta < 360^\circ$	$+$	$-$	$-$

2. 三角関数の相互関係

$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$の間には、常に成り立つ3つの重要な関係式があります。これらを三角関数の相互関係と呼びます。

2-1. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

単位円上の点P$(x, y)$において、原点Oから点Pまでの距離は半径なので1です。三平方の定理（ピタゴラスの定理）より、$x^2 + y^2 = 1^2$ が成り立ちます。

ここで、$x = \cos\theta$、$y = \sin\theta$ を代入すると、

$$ (\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1 $$

となります。$(\cos\theta)^2$ は通常 $\cos^2\theta$ と書くため、

$$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

が得られます。

ポイント: この式は、単位円上のどんな点P$(x, y)$でも、$x^2+y^2=1$が成り立つことから導かれる、最も基本的な関係式です。

2-2. $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\tan\theta$の定義は $\frac{y}{x}$ でした。これに $y = \sin\theta$、$x = \cos\theta$ を代入すると、

$$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$

が得られます。この関係は、$\cos\theta \neq 0$ のときに常に成り立ちます。

ポイント: $\tan\theta$が傾きを表すことと関連付けて考えると理解しやすいでしょう。傾きは「縦の変化量 $\div$ 横の変化量」なので、$\sin\theta$（$y$座標の変化）と$\cos\theta$（$x$座標の変化）の比で表されます。

2-3. $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$

この関係式は、1つ目の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の両辺を $\cos^2\theta$ で割ることで導出できます（ただし、$\cos\theta \neq 0$）。

$$ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} $$

$$ \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta} $$

2つ目の相互関係 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を代入すると、

$$ \tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta} $$

すなわち、

$$ 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} $$

が得られます。

ポイント: この式は、$\tan\theta$の値が分かっているときに、$\cos\theta$の値を求めるのに便利です。

3. 具体例で理解を深める

例1: 単位円を使って三角関数の値を求める

$\theta = 210^\circ$ のときの $\sin 210^\circ, \cos 210^\circ, \tan 210^\circ$ の値を求めましょう。

考え方: 単位円を描き、$210^\circ$ の動径と単位円の交点Pの座標を読み取ります。

1. $210^\circ$ は、$180^\circ$ からさらに $30^\circ$ 進んだ角です。つまり、第3象限にあります。
2. $x$軸とのなす角は $210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$ です。
3. 原点O、点P、そして$(-x, 0)$を結んでできる直角三角形は、$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ の直角三角形となり、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ です。単位円の半径が1なので、斜辺は1です。したがって、この直角三角形の直角を挟む2辺の長さは $\frac{1}{2}$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。
4. 点Pは第3象限にあるので、$x$座標も$y$座標も負になります。

* $x$座標: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $y$座標: $-\frac{1}{2}$

よって、

$$ \sin 210^\circ = -\frac{1}{2} $$

$$ \cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \tan 210^\circ = \frac{\sin 210^\circ}{\cos 210^\circ} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

例2: 相互関係を使って他の値を求める

$\sin\theta = -\frac{3}{5}$ で、$\theta$ が第3象限の角であるとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めましょう。

考え方: 相互関係の公式と、$\theta$ が第3象限であるという情報（符号）を使います。

1. まず、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の式に $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ を代入します。

$$ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1 $$

$$ \frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1 $$

$$ \cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $$

$$ \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $$

1. $\theta$ は第3象限の角なので、$\cos\theta$ は負の値になります。

よって、$\cos\theta = -\frac{4}{5}$。

1. 次に、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の式に求めた値を代入します。

$$ \tan\theta = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} $$

したがって、$\cos\theta = -\frac{4}{5}$、$\tan\theta = \frac{3}{4}$ です。

例3: 相互関係を使った式の変形

次の式を簡単にしましょう。

$$ (\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2 $$

考え方: 展開して、相互関係の公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用します。

1. それぞれのカッコを展開します。

* $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

* $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

1. これらを元の式に代入して足し合わせます。

$$ (\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + (\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) $$

1. 同類項をまとめます。

$$ \sin^2\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta $$

$$ = 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta $$

1. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用します。

$$ = 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) $$

$$ = 2(1) $$

$$ = 2 $$

したがって、与えられた式は $2$ となります。

4. 学習のポイント

• 単位円を常にイメージする: 単位円は三角関数の定義、符号、値の範囲を理解するための基本です。具体的な角の値を求めるときも、単位円を描いて考える習慣をつけましょう。
• 相互関係の公式は覚えるだけでなく、導出も理解する: 丸暗記ではなく、なぜその式が成り立つのか（特に$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$が三平方の定理から導かれること）を理解することで、忘れにくくなります。また、公式を忘れても自分で導き出すことができます。
• 角の範囲（象限）と符号に注意する: $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ の値は、同じ絶対値でも角の象限によって符号が変わります。問題を解く際には、常に角がどの象限にあるかを確認し、符号ミスをしないように注意しましょう。

これらの基礎をしっかりと身につけることで、三角関数のより発展的な内容（加法定理、グラフなど）もスムーズに学習できるようになります。