【高1数学】二次関数のグラフ：平方完成から頂点・軸まで一気にAI解説

二次関数のグラフの「形」を読み解く！

高校数学で学習する二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフは、放物線と呼ばれる特徴的な形をしています。この放物線の頂点の位置や軸の位置、そして開きの向きや幅を知ることで、グラフ全体の様子を正確に把握することができます。

しかし、$y = ax^2 + bx + c$ の形では、これらの情報をすぐに読み取るのは難しいですよね。そこで登場するのが「平方完成」です！ 平方完成を行うことで、二次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、グラフの重要な情報を一目でわかるようにします。

1. 基本となる二次関数 $y = ax^2$ のグラフ

まず、二次関数の最も基本的な形である $y = ax^2$ のグラフについて確認しましょう。

• 頂点: 原点 $(0,0)$ です。
• 軸: $y$ 軸（直線 $x=0$）です。
• グラフの開き方: $a$ の値によって決まります。

* $a > 0$ のとき：下に凸（開口部が上向き）

* $a < 0$ のとき：上に凸（開口部が下向き）

* $|a|$ の値が大きいほど、グラフの開きは狭くなります。

この $y = ax^2$ のグラフが、すべての二次関数のグラフの「原型」となります。

2. 平方完成の目的と $y = a(x-p)^2 + q$ の形

平方完成は、一般形 $y = ax^2 + bx + c$ を、次のような標準形に変形する作業です。

$$y = a(x-p)^2 + q$$

この標準形に変形することで、グラフの重要な情報を直接読み取ることができます。

• 頂点: $(p,q)$ です。
• 軸: 直線 $x=p$ です。

なぜこのようになるのでしょうか？

$y = a(x-p)^2 + q$ という式は、$y = ax^2$ のグラフを、

• $x$ 軸方向に $p$ だけ
• $y$ 軸方向に $q$ だけ

平行移動したものであると考えることができます。

例えば、$y = x^2$ の頂点は $(0,0)$ ですが、$y = (x-2)^2 + 3$ の頂点は $(2,3)$ になります。これは、$y = x^2$ のグラフ全体を、右に2、上に3移動させたものと考えることができるからです。

3. 平方完成の手順

それでは、実際に $y = ax^2 + bx + c$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変換する平方完成の手順を見ていきましょう。

例題: $y = x^2 - 6x + 7$ を平方完成しなさい。

1. $x$ の項をまとめる: $x^2$ と $x$ の項だけに着目します。もし $x^2$ の係数 $a$ が1以外の場合は、まず $a$ でくくります。

今回は $x^2$ の係数が1なので、そのまま進めます。

$$y = (x^2 - 6x) + 7$$

1. $(x - ext{〇})^2$ の形を作る: 括弧の中を $(x - ext{〇})^2$ の形にするために、足りない定数項を補います。この「〇」は $x$ の係数 $(-6)$ を半分にしたものです。

$(x - 3)^2$ を展開すると $x^2 - 6x + 9$ となります。つまり、$x^2 - 6x$ の後に $+9$ があれば $(x-3)^2$ になるわけです。

そこで、$+9$ を追加しますが、勝手に追加すると値が変わってしまうので、すぐに $-9$ を追加して帳尻を合わせます。

$$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 7$$

1. $(x - ext{〇})^2$ の部分をまとめる: $x^2 - 6x + 9$ の部分を $(x-3)^2$ にまとめます。

$$y = (x - 3)^2 - 9 + 7$$

1. 定数項を整理する: 括弧の外に出た定数項を計算します。

$$y = (x - 3)^2 - 2$$

これで平方完成が完了しました。

この形から、

• 頂点: $(3,-2)$
• 軸: 直線 $x=3$
• 平行移動: $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$、 $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動したもの

であることがわかります。

例題2: $y = -2x^2 + 8x - 5$ を平方完成しなさい。

1. $x^2$ の係数でくくる: $x^2$ と $x$ の項を $x^2$ の係数 $(-2)$ でくくります。

$$y = -2(x^2 - 4x) - 5$$

1. $(x - ext{〇})^2$ の形を作る: 括弧の中の $x$ の係数 $(-4)$ を半分にした $-2$ を使って $(x-2)^2$ を作ります。 $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ なので、括弧の中に $+4$ を追加し、すぐに $-4$ を追加して帳尻を合わせます。

$$y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5$$

1. $(x - ext{〇})^2$ の部分をまとめる: $x^2 - 4x + 4$ の部分を $(x-2)^2$ にまとめます。このとき、$-4$ は括弧の外に出す際に、前にくくってあった $-2$ を忘れずにかけ算します。

$$y = -2(x - 2)^2 - 2(-4) - 5$$

$$y = -2(x - 2)^2 + 8 - 5$$

1. 定数項を整理する:

$$y = -2(x - 2)^2 + 3$$

これで平方完成が完了しました。

この形から、

• 頂点: $(2,3)$
• 軸: 直線 $x=2$
• 平行移動: $y = -2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$、 $y$ 軸方向に $3$ 平行移動したもの

であることがわかります。

4. ポイントまとめ

• 二次関数のグラフの頂点や軸の位置を知るためには、平方完成を行って $y = a(x-p)^2 + q$ の形にすることが重要です。
• $y = a(x-p)^2 + q$ の形では、頂点は $(p,q)$、軸は直線 $x=p$ となります。
• この標準形は、$y = ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものと考えることができます。
• $a$ の符号がグラフの向きを、$|a|$ の値がグラフの開き具合を決めます。

平方完成は二次関数を理解する上で非常に重要な変形です。繰り返し練習してマスターしましょう！

---