【中1数学】文章題で式が立てられない人へ：一次方程式のつまずき対策

中学1年生の皆さん、こんにちは！

一次方程式の文章題、特に速さや割合の問題で「どこから手をつけていいか分からない」「式が立てられない」と困っていませんか？

これらの問題は、いくつかのポイントをしっかり押さえれば必ず解けるようになります。

この教材では、皆さんがつまずきやすい「よくある間違い」に焦点を当て、その原因と正しい考え方を解説します。

【よくある間違いとその克服法：速さの問題編】

例題1：

A地点からB地点まで行くのに、行きは時速4km、帰りは時速6kmで歩いたら、往復で2時間かかった。A地点からB地点までの道のりを求めなさい。

よくある間違いの考え方：

「道のりを$x$kmとする。行きは時速4km、帰りは時速6kmだから、往復の速さの平均は $(4+6) \div 2 = 5$km/時。だから $2x \div 5 = 2$ とか $2x = 5 \times 2$ とか…」

なぜ間違えるか：

速さの平均を単純に足して2で割ってはいけません。速さの平均を考えるときは、合計道のりと合計時間が必要です。

また、速さ・時間・道のりの関係式「道のり＝速さ×時間」はよく知られていますが、ここから導かれる「時間＝道のり÷速さ」を使いこなせていないことが原因です。

この問題では、「往復で2時間かかった」という「時間」の合計が分かっているので、それぞれの区間にかかった時間を文字$x$を使って表し、それらを足したものが2時間になるという方程式を立てる必要があります。

正しい考え方：

1. 何を$x$とするか決める：求めたいA地点からB地点までの道のりを$x$kmとします。
2. それぞれの「時間」を$x$で表す：

* 行きにかかった時間：道のり$x$km ÷ 時速4km = $\frac{x}{4}$ 時間

* 帰りにかかった時間：道のり$x$km ÷ 時速6km = $\frac{x}{6}$ 時間

1. 方程式を立てる：

「行きにかかった時間」と「帰りにかかった時間」を合わせると2時間なので、

$$ \frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 2 $$

1. 方程式を解く：

両辺に4と6の最小公倍数である12をかけます。

$$ 12 \times \frac{x}{4} + 12 \times \frac{x}{6} = 12 \times 2 $$

$$ 3x + 2x = 24 $$

$$ 5x = 24 $$

$$ x = \frac{24}{5} = 4.8 $$

答え： A地点からB地点までの道のりは $4.8$kmです。

【よくある間違いとその克服法：割合の問題編】

例題2：

ある商品の定価の2割引きで売ると2400円になった。この商品の定価を求めなさい。

よくある間違いの考え方：

「定価を$x$円とする。2割引きだから、$x - 0.2 = 2400$」

「または、$x \times 0.2 = 2400$」

なぜ間違えるか：

「2割引き」が「定価の2割を引く」という意味を正確に理解できていないことが原因です。

$0.2$は「2割」を小数で表したものですが、$x - 0.2$は「$x$から$0.2$円引く」という意味になってしまいます。

また、$x \times 0.2$は「定価の2割の金額」を表すので、これが2400円になるわけではありません。

「2割引き」とは、定価の10割（全体）から2割を引く、つまり定価の $(10 - 2)$割、つまり定価の8割の金額になるということです。

正しい考え方：

1. 何を$x$とするか決める：求めたい商品の定価を$x$円とします。
2. 「2割引き」を$x$で表す：

* 2割は小数で$0.2$です。

* 「2割引き」は、元の量（定価）の $(1 - 0.2)$ 倍、つまり $0.8$ 倍になります。

* よって、定価の2割引きの金額は $x \times 0.8$ 円と表せます。

1. 方程式を立てる：

この金額が2400円なので、

$$ 0.8x = 2400 $$

1. 方程式を解く：

$$ x = \frac{2400}{0.8} $$

$$ x = 24000 \div 8 $$

$$ x = 3000 $$

答え： この商品の定価は3000円です。

【類題に挑戦！】

これまでの解説を参考に、以下の問題に挑戦してみましょう。

類題1（速さ）：

家から駅まで往復する。行きは時速3km、帰りは時速4kmで歩いたら、往復で1時間45分かかった。家から駅までの道のりを求めなさい。

類題2（割合）：

ある洋服を定価の3割5分引きで買うと、3900円だった。この洋服の定価を求めなさい。

---

【類題の解答と解説】

類題1の解答と解説：

1. 何を$x$とするか：家から駅までの道のりを$x$kmとします。
2. 時間を$x$で表す：

* 行きにかかった時間：$\frac{x}{3}$ 時間

* 帰りにかかった時間：$\frac{x}{4}$ 時間

1. 単位の統一：

1時間45分は、1時間は60分なので、$1 + \frac{45}{60} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ 時間です。

1. 方程式を立てる：

$$ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{7}{4} $$

1. 方程式を解く：

両辺に3と4の最小公倍数である12をかけます。

$$ 12 \times \frac{x}{3} + 12 \times \frac{x}{4} = 12 \times \frac{7}{4} $$

$$ 4x + 3x = 21 $$

$$ 7x = 21 $$

$$ x = 3 $$

答え： 家から駅までの道のりは3kmです。

類題2の解答と解説：

1. 何を$x$とするか：洋服の定価を$x$円とします。
2. 「3割5分引き」を$x$で表す：

* 3割5分は、小数で$0.35$です。（1割＝$0.1$、1分＝$0.01$）

* 「3割5分引き」は、元の量（定価）の $(1 - 0.35)$ 倍、つまり $0.65$ 倍になります。

* よって、定価の3割5分引きの金額は $x \times 0.65$ 円と表せます。

1. 方程式を立てる：

この金額が3900円なので、

$$ 0.65x = 3900 $$

1. 方程式を解く：

$$ x = \frac{3900}{0.65} $$

$$ x = \frac{390000}{65} $$

$$ x = 6000 $$

答え： この洋服の定価は6000円です。

速さの問題では「時間＝道のり÷速さ」、割合の問題では「元の量×（1±変化の割合）＝変化後の量」の関係を意識して式を立てることが重要です。

繰り返し練習して、自信を持って解けるようになりましょう！