【高2物理】単振動の基本（変位・速度・加速度・周期）をAIで整理

単振動の基本を整理しよう

単振動は、周期的な運動の中でも特に基本的なもので、物理学の様々な分野で応用されます。ここでは、単振動の定義から、変位、速度、加速度、周期といった主要な物理量について整理していきましょう。

1. 単振動とは？

単振動 (Simple Harmonic Motion, SHM) とは、物体が平衡点（つり合いの位置）を中心に、ある範囲を往復する周期的な運動のことです。

単振動の最も重要な特徴は、物体に働く復元力が、平衡点からの変位に比例し、常に平衡点向きに働くという点です。

例えば、ばねにつながれたおもりの運動や、振り子の小さな振動などが単振動の代表例です。

2. 単振動と等速円運動の関係

単振動は、等速円運動の正射影として理解することができます。これは、単振動の各物理量を数式で表現する上で非常に重要です。

半径 $A$ の円周上を角速度 $\omega$ で等速円運動する物体を考えます。この物体を、円の直径に垂直な方向から光を当ててスクリーンに投影すると、スクリーン上には物体が往復運動する影が映ります。この影の運動が単振動です。

等速円運動の角速度 $\omega$ は、単振動においては角振動数と呼ばれ、単振動の速さを表す量となります。周期 $T$ との間に $T = 2\pi / \omega$ の関係があります。

3. 各物理量の表現

等速円運動の正射影として考えると、単振動の変位、速度、加速度は三角関数で表すことができます。

平衡点を原点 $x=0$ とし、時刻 $t=0$ での初期位相を $\phi$ とすると、各物理量は次のように表されます。

(1) 変位 $x$

平衡点からの位置を表します。円運動の半径 $A$ は、単振動の振幅（平衡点からの最大変位）に対応します。

$$x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$$

または

$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

• $A$: 振幅（最大変位）。単位はメートル(m)。
• $\omega$: 角振動数。単位はラジアン毎秒(rad/s)。
• $\phi$: 初期位相。単位はラジアン(rad)。

解説: 変位は時間とともに正弦波（または余弦波）状に変化し、その最大値が振幅 $A$ です。平衡点 ($x=0$) では速度が最大になり、端点 ($x=\pm A$) では速度が0になります。

(2) 速度 $v$

変位の時間変化の割合です。変位の式を時間 $t$ で微分することで求められます。

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$$

または

$$v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$$

• 最大速度: $v_{max} = A\omega$

解説: 速度は変位より位相が $\frac{\pi}{2}$ (90度) 進んでいます。平衡点 ($x=0$) を通過するときに速度の大きさが最大 ($A\omega$) となり、端点 ($x=\pm A$) では速度が0になります。

(3) 加速度 $a$

速度の時間変化の割合です。速度の式を時間 $t$ で微分することで求められます。

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$$

または

$$a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)$$

変位の式 $x(t)$ を用いると、加速度は次のように表せます。

$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$

• 最大加速度: $a_{max} = A\omega^2$

解説: 加速度は変位と逆向きで、その大きさが変位に比例します。これは単振動の定義である復元力が変位に比例すること（$F=ma$より $a \propto F \propto -x$）と一致します。端点 ($x=\pm A$) で加速度の大きさが最大 ($A\omega^2$) となり、平衡点 ($x=0$) では加速度が0になります。

(4) 周期 $T$

1回の振動にかかる時間です。角振動数 $\omega$ とは次の関係があります。

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

• 周期の単位: 秒(s)。

解説: 周期は、物体が1往復するのにかかる時間を示します。単振動では、振幅の大小にかかわらず周期は一定であるという重要な性質があります。

4. 単振動の具体例

(1) ばね振り子

質量 $m$ のおもりが、ばね定数 $k$ のばねに吊るされ（または取り付けられ）、水平方向または鉛直方向に振動する運動です。

• 復元力: フックの法則 $F = -kx$ （$x$ は平衡点からの変位）
• 運動方程式: $ma = -kx$
• 加速度: $a = -\frac{k}{m}x$

この式を $a = -\omega^2 x$ と比較すると、$\omega^2 = \frac{k}{m}$ となるため、角振動数は $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ です。

• 周期: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

ポイント: 周期は、おもりの質量 $m$ が大きいほど長く、ばね定数 $k$ が大きい（ばねが硬い）ほど短くなります。

(2) 単振り子

長さ $l$ の軽い糸の先に質量 $m$ のおもりをつけ、わずかにずらして放したときの振動です。ただし、振動の振幅が小さい場合に単振動とみなせます。

• 復元力: $F = -mg \sin\theta \approx -mg \frac{x}{l}$ （$x$ は平衡点からの弧の長さ、$\theta$ は振れ角。微小振動では $\sin\theta \approx \theta \approx \frac{x}{l}$ と近似）
• 運動方程式: $ma = -mg \frac{x}{l}$
• 加速度: $a = -\frac{g}{l}x$

この式を $a = -\omega^2 x$ と比較すると、$\omega^2 = \frac{g}{l}$ となるため、角振動数は $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ です。

• 周期: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

ポイント: 周期は、糸の長さ $l$ が長いほど長く、重力加速度 $g$ が大きいほど短くなります。おもりの質量 $m$ には依存しないという重要な特徴があります。

5. ポイントまとめ

• 単振動の定義式: $a = -\omega^2 x$。これは、加速度が変位に比例し、常に平衡点向きに働くことを示しています。
• 各物理量の位相関係: 変位 $x$、速度 $v$、加速度 $a$ はそれぞれ位相が $\frac{\pi}{2}$ ずつずれています。具体的には、$v$ は $x$ より $\frac{\pi}{2}$ 進み、$a$ は $v$ より $\frac{\pi}{2}$ 進み（または $x$ より $\pi$ 進み）、逆向きになります。
• 周期の独立性: ばね振り子や単振り子では、周期は振幅の大きさには依存しません。これは単振動の重要な性質です。
• 等速円運動との関連: 単振動の理解には、等速円運動の正射影という考え方が非常に有効です。この関係から、変位・速度・加速度の式や、それぞれの物理量の最大値が導出されます。

これらの基本をしっかりと理解することで、単振動に関する様々な問題を解くことができるようになります。