直列と並列の合成抵抗はどっち？公式の見分け方と手順【高2物理】

直列接続と並列接続：合成抵抗の求め方

電気回路の計算において、複数の抵抗がある場合にそれらを1つの抵抗（合成抵抗）として扱うことは非常に重要です。ここでは、抵抗の「直列接続」と「並列接続」における合成抵抗の求め方とその考え方について解説します。

1. 直列接続

抵抗が「直列接続」されているとは、抵抗が一本の道のように途切れることなく、次々に接続されている状態を指します。電流の流れる経路が1つしかないため、各抵抗を流れる電流はすべて同じになります。

特徴

• 電流: 各抵抗を流れる電流はすべて等しい ($I = I_1 = I_2 = \dots$)。
• 電圧: 全体の電圧は、各抵抗にかかる電圧の和になる ($V = V_1 + V_2 + \dots$)。
• 合成抵抗: 各抵抗の抵抗値を単純に足し合わせたものになる。

合成抵抗の公式

直列に接続された抵抗 $R_1, R_2, R_3, \dots$ の合成抵抗を $R$ とすると、次の式で表されます。

$$R = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$$

考え方: 抵抗が直列につながると、電流の「通りにくさ」が増すと考えられます。例えば、狭い道が連続しているようなもので、それぞれの狭さが足し合わされるイメージです。

2. 並列接続

抵抗が「並列接続」されているとは、抵抗がそれぞれ異なる経路に分かれて接続され、両端が同じ2点につながっている状態を指します。各抵抗の両端にかかる電圧はすべて同じになります。

特徴

• 電流: 全体の電流は、各抵抗に流れる電流の和になる ($I = I_1 + I_2 + \dots$)。
• 電圧: 各抵抗にかかる電圧はすべて等しい ($V = V_1 = V_2 = \dots$)。
• 合成抵抗: 各抵抗の逆数（コンダクタンス）の和の逆数になる。

合成抵抗の公式

並列に接続された抵抗 $R_1, R_2, R_3, \dots$ の合成抵抗を $R$ とすると、次の式で表されます。

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$$

特に抵抗が2つの場合:

2つの抵抗 $R_1, R_2$ が並列接続されている場合、上記の式を計算すると、より簡潔な形になります。

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2}$$

$$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

考え方: 抵抗が並列につながると、電流の「通りにくさ」が減り、「通りやすさ」が増すと考えられます。例えば、複数の道が並行してあるようなもので、道が増えるほど全体としては通りやすくなります。そのため、合成抵抗は個々の抵抗の値よりも小さくなります。

3. 直列接続と並列接続の比較と使い分け

直列接続と並列接続は、それぞれ電流や電圧の振る舞い、合成抵抗の計算方法が異なります。

直列接続の特徴

• 電流: 各抵抗を流れる電流はすべて同じです。
• 電圧: 全体の電圧は、各抵抗にかかる電圧の和になります。
• 合成抵抗: 各抵抗の抵抗値を単純に足し合わせたものです。個々の抵抗よりも合成抵抗は大きくなります。

並列接続の特徴

• 電流: 全体の電流は、各抵抗に流れる電流の和になります。
• 電圧: 各抵抗にかかる電圧はすべて同じです。
• 合成抵抗: 各抵抗の逆数（コンダクタンス）の和の逆数になります。個々の抵抗よりも合成抵抗は小さくなります。

使い分けのポイント:

回路図を見て、抵抗が「一本の線上に連続してつながっているか（直列）」、それとも「複数の経路に分かれて、同じ2点に接続されているか（並列）」を判断します。複雑な回路では、部分的に直列接続や並列接続を見つけ、順次合成抵抗を計算していくことで、回路全体を単純化できます。

例題と解答

例題1: 直列接続の合成抵抗

3Ωの抵抗と5Ωの抵抗が直列に接続されています。このときの合成抵抗を求めなさい。

解答:

直列接続の合成抵抗の公式 $R = R_1 + R_2$ を用います。

$R = 3\text{Ω} + 5\text{Ω} = 8\text{Ω}$

解説:

直列接続では、抵抗は単純に足し合わせるだけで合成抵抗が求まります。電流の経路は一つなので、それぞれの抵抗が電流の流れを妨げる効果が合算されます。

例題2: 並列接続の合成抵抗

3Ωの抵抗と6Ωの抵抗が並列に接続されています。このときの合成抵抗を求めなさい。

解答:

並列接続の合成抵抗の公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ を用います。

$\frac{1}{R} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

よって、$R = 2\text{Ω}$

または、2つの抵抗の場合の公式 $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ を用いると、

$R = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2\text{Ω}$

解説:

並列接続では、電流が複数の経路に分かれるため、全体の電流の流れやすさが増します。したがって、合成抵抗は個々の抵抗の値よりも小さくなります。計算は逆数の和を求める形になるか、2つの場合は積を和で割る形になります。

例題3: 直列と並列が混在する回路

以下の図のような回路の合成抵抗を求めなさい。

（図の代わりに文章で表現します）

2Ωの抵抗と4Ωの抵抗が並列に接続されており、その合成抵抗に、さらに3Ωの抵抗が直列に接続されています。

解答:

1. まず、並列接続されている2Ωと4Ωの合成抵抗 $R_{並列}$ を求めます。

$R_{並列} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\text{Ω}$

1. 次に、この $R_{並列}$ と直列に接続されている3Ωの抵抗の合成抵抗 $R_{全体}$ を求めます。

$R_{全体} = R_{並列} + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3}\text{Ω}$

解説:

複雑な回路では、まず小さな部分（直列または並列）の合成抵抗を計算し、その結果を使ってさらに大きな部分の合成抵抗を計算するという手順を踏みます。この例では、まず並列部分を1つの抵抗とみなし、次にその抵抗と残りの抵抗が直列につながっていると考えることで、全体の合成抵抗を求めることができます。

まとめ

• 直列接続: 抵抗は「足し算」。電流は同じ、電圧は足し算。合成抵抗は個々より大きくなる。
• 並列接続: 抵抗は「逆数の足し算の逆数」。電圧は同じ、電流は足し算。合成抵抗は個々より小さくなる。
• 複雑な回路: 部分ごとに直列・並列を見極め、順に合成抵抗を計算していく。

これらの法則を理解し、適切に使いこなすことで、様々な電気回路の問題に対応できるようになります。