この単元のつまずきポイント
積と和の条件を同時に満たす組を試行錯誤で探そうとして時間切れになる。特に定数項が負のときの符号の付け方で混乱しやすく、検算せずに書き終えてしまうため誤答に気付けない。
このテーマで実際に生成した教材
下の枠内が、まなびAIがこのテーマで実際に生成した教材です。読み解きにくい学習指導要領は、デジタル庁が推進する国産AI「源内」の一部である法令検索AI「Lawsy」の技術で検索・参照し、約30秒で出力されました。
たすき掛けとは？
因数分解は、多項式をいくつかの式の積の形にすることです。特に、$ax^2 + bx + c$ の形の二次式を因数分解するときに「たすき掛け」という便利な方法があります。これは、公式だけでは難しい場合に非常に役立つテクニックです。
たすき掛けの基本原理
たすき掛けは、二次式 $ax^2 + bx + c$ を $(px + q)(rx + s)$ の形に因数分解するための方法です。
$(px + q)(rx + s)$ を展開すると、次のようになります。
$$ (px + q)(rx + s) = prx^2 + psx + qrx + qs = prx^2 + (ps + qr)x + qs $$
これを $ax^2 + bx + c$ と比較すると、次の関係が成り立ちます。
- $a = pr$
- $b = ps + qr$
- $c = qs$
たすき掛けは、この $a$, $b$, $c$ の関係を満たす $p, q, r, s$ の組み合わせを見つける作業です。
たすき掛けの手順
$ax^2 + bx + c$ の形をした二次式を因数分解する手順は以下の通りです。
- $x^2$ の係数 $a$ に注目する
* 積が $a$ になるような2つの数 $p, r$ の組を見つけます。
- 定数項 $c$ に注目する
* 積が $c$ になるような2つの数 $q, s$ の組を見つけます。
- 組み合わせを試す（たすき掛け）
* 見つけた $p, r$ と $q, s$ を次のように配置します。
* 左側に $p$ と $r$ を縦に並べます。
* 右側に $q$ と $s$ を縦に並べます。
* 左上と右下 ($p$ と $s$)、左下と右上 ($r$ と $q$) をそれぞれかけ算します。
* その2つの積 $ps$ と $qr$ を足し合わせます。この和が $x$ の係数 $b$ になるかを確認します。
- 因数分解の形にする
* もし $ps + qr = b$ が成り立てば、因数分解は成功です。
* 因数は、横に並んだ数字を使って $(px + q)(rx + s)$ の形になります。
符号の合わせ方（これが一番重要！）
たすき掛けで最も間違えやすいのが符号の扱いです。以下のルールをしっかり覚えましょう。
場合1: 定数項 $c$ が正の場合
$c > 0$ のとき、$q$ と $s$ は「同じ符号」になります。
- もし $x$ の係数 $b$ が正 ($b > 0$) ならば
* $q$ と $s$ は「どちらも正」になります。
- もし $x$ の係数 $b$ が負 ($b < 0$) ならば
* $q$ と $s$ は「どちらも負」になります。
場合2: 定数項 $c$ が負の場合
$c < 0$ のとき、$q$ と $s$ は「異なる符号」になります。
- $q$ と $s$ のどちらかが正で、もう一方が負になります。
- $ps + qr$ の結果が $b$ になるように、符号の組み合わせを調整します。
- 例えば、$x$ の係数 $b$ が正ならば、$ps$ と $qr$ のうち、絶対値が大きい方の積が正になるように $q$ と $s$ の符号を選びます。
例題で練習してみよう
例題1: $x^2 + 5x + 6$ を因数分解する
- $a=1, b=5, c=6$ です。
- $a=1$ なので、$p=1, r=1$ とします。
- $c=6$ なので、積が6になる数の組は $(1, 6), (2, 3)$ などです。
- $b=5$ (正) なので、$q, s$ はどちらも正の数を選びます。
* $p=1$ $q=2$
* $r=1$ $s=3$
斜めにかけて足すと：
$1 \times 3 = 3$
$1 \times 2 = 2$
$3 + 2 = 5$
これは $b=5$ に一致します。
- したがって、因数分解の結果は $(x + 2)(x + 3)$ となります。
例題2: $x^2 - 5x + 6$ を因数分解する
- $a=1, b=-5, c=6$ です。
- $a=1$ なので、$p=1, r=1$ とします。
- $c=6$ なので、積が6になる数の組は $(1, 6), (2, 3)$ などです。
- $b=-5$ (負) なので、$q, s$ はどちらも負の数を選びます。
* $p=1$ $q=-2$
* $r=1$ $s=-3$
斜めにかけて足すと：
$1 \times (-3) = -3$
$1 \times (-2) = -2$
$-3 + (-2) = -5$
これは $b=-5$ に一致します。
- したがって、因数分解の結果は $(x - 2)(x - 3)$ となります。
例題3: $2x^2 + x - 3$ を因数分解する
- $a=2, b=1, c=-3$ です。
- $a=2$ なので、$p=1, r=2$ または $p=2, r=1$ とします。
- $c=-3$ なので、積が-3になる数の組は $(1, -3), (-1, 3), (3, -1), (-3, 1)$ などです。
- $b=1$ (正) なので、$q, s$ は異なる符号を選びます。
いくつか試してみましょう。
* 試行1:
$p=1$ $q=1$
$r=2$ $s=-3$
斜めにかけて足すと：
$1 \times (-3) = -3$
$2 \times 1 = 2$
$-3 + 2 = -1$
これは $b=1$ に一致しません。
* 試行2:
$p=1$ $q=-1$
$r=2$ $s=3$
斜めにかけて足すと：
$1 \times 3 = 3$
$2 \times (-1) = -2$
$3 + (-2) = 1$
これは $b=1$ に一致します。
- したがって、因数分解の結果は $(x - 1)(2x + 3)$ となります。
まとめ
たすき掛けは、少し慣れるまで時間がかかるかもしれませんが、いくつかの例題を解くうちにコツをつかめるようになります。特に、符号の組み合わせ方を意識して練習することが大切です。諦めずに挑戦しましょう！
編集・参照情報
- 編集・運営: かわさき楽AIサポート（株式会社スマイルファクトリー）
- 作成方法: 学習指導要領データを検索し、AI生成教材を編集して掲載
- 参照範囲: 第４節 数 学 > 第１ 数学Ⅰ > ２ 内 容 > (1) 数と式
- 公開日: 2026年7月3日
この教材の使い方
保護者の方や塾講師の方にお伝えしたいのは、たすき掛けは「慣れ」がすべての単元だという点です。本教材を開いたら、まずは $ax^2 + bx + c$ の $a$ と $c$ に丸をつけさせ、積がその値になる整数の組を口に出して挙げさせてください。手を動かす前に候補を声に出すだけで、迷いがぐっと減ります。
塾講師の方は、生徒がつまずいたら教材本文の「基本原理」に戻り、$b = ps + qr$ の式を指差しながら「どの数字とどの数字を掛けて足したら真ん中になる？」と問いかけてみてください。問題文を貼ってAIに『たすき掛けの候補一覧を作って』と頼むと、絞り込みの過程を見せてくれるので、思考の型を共有する教材として活用できます。
保護者の方が家庭で見守る場合は、答え合わせよりも「符号の決め方」と「展開して検算したか」の2点だけ確認してあげてください。生徒本人が展開して元の式に戻せた瞬間に理解が定着しますので、正解・不正解ではなく検算のプロセスを褒める声かけが効果的です。
よくある質問
たすき掛けは高校1年のいつ頃学ぶ内容ですか？
一般的には高校1年の「数学Ⅰ」の因数分解の単元で扱われることが多い内容です。学校や教科書によって進度が異なる場合がありますので、詳しくは学校の先生にご確認ください。
子どもが符号の決め方でつまずいています。家庭でどうサポートすればよいですか？
つまずきやすいのは $ps+qr=b$ の符号合わせです。まずは展開して元に戻るかを一緒に検算する習慣づけがおすすめです。進め方はお子さまの理解度に合わせてご家庭の判断で調整してください。
公式だけで解ければ、たすき掛けは覚えなくても大丈夫ですか？
教材にもある通り、たすき掛けは公式だけでは難しい場合に役立つ方法として紹介されています。必要性はカリキュラム上の位置づけによりますので、学校の先生にご確認いただくと安心です。