【高1数学】三角比の相互関係を式変形で使いこなす

1. 三角比の相互関係とは？

三角比（サイン、コサイン、タンジェント）の間には、常に成り立つ関係式があります。これらを「三角比の相互関係」と呼び、特に直角三角形における鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）の場合にその性質を学びます。

これらの関係式は、直角三角形の定義と三平方の定理から導き出すことができます。

相互関係の公式

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
2. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
3. $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

公式の導出（理解を深めるために）

直角三角形の3辺の長さをそれぞれ $a, b, c$（$c$は斜辺）とすると、

$\sin \theta = \frac{a}{c}$, $\cos \theta = \frac{b}{c}$, $\tan \theta = \frac{a}{b}$ となります。

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の導出

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b}$

これは $\tan \theta$ の定義と一致します。

2. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の導出

三平方の定理より $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立ちます。

この式の両辺を $c^2$ で割ると、

$\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}$

$(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1$

ここで、$\frac{a}{c} = \sin \theta$, $\frac{b}{c} = \cos \theta$ なので、

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が導かれます。

3. $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の導出

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の両辺を $\cos^2 \theta$ で割ると、

$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$(\frac{\sin \theta}{\cos \theta})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

ここで、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ なので、

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$、すなわち $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ が導かれます。

2. 具体的な使い方

これらの相互関係を使うと、一つの三角比の値が分かれば、残りの二つの三角比の値を求めることができます。特に$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ は最も頻繁に用いられる重要な関係式です。

重要ポイント: $\theta$ が鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）の場合、$\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ の値はすべて正になります。これは計算の際に符号を決定する上で非常に重要です。

例題1: $\sin \theta$ が与えられたとき

問題: $\sin \theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。（ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$）

解答:

1. $\cos \theta$ を求めるために、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使います。

$(\frac{3}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25}$

$\cos^2 \theta = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$

1. $\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ です。

$\cos \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

1. 次に、$\tan \theta$ を求めるために、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を使います。

$\tan \theta = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

解説:

$\sin \theta$ の値が分かっている場合、まずは$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使って$\cos \theta$ を求めます。このとき、$\theta$ が鋭角であることから$\cos \theta$ の符号が正であることを確認します。$\sin \theta$ と$\cos \theta$ の値が分かれば、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を使って$\tan \theta$ を求めることができます。

例題2: $\cos \theta$ が与えられたとき

問題: $\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。（ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$）

解答:

1. $\sin \theta$ を求めるために、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使います。

$\sin^2 \theta + (\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}$

1. $\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$ です。

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

1. 次に、$\tan \theta$ を求めるために、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を使います。

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

解説:

$\cos \theta$ の値が分かっている場合も、例題1と同様に$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使って$\sin \theta$ を求めます。$\theta$ が鋭角であることから$\sin \theta$ の符号が正であることを確認します。その後、$\tan \theta$ を計算します。

例題3: $\tan \theta$ が与えられたとき

問題: $\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めなさい。（ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$）

解答:

1. $\cos \theta$ を求めるために、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を使います。

$1 + (2)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$5 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

1. $\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ です。

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

1. 次に、$\sin \theta$ を求めるために、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を使います。この式を変形すると、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$ となります。

$\sin \theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

解説:

$\tan \theta$ の値が分かっている場合は、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を使うと、まず$\cos \theta$ を求めることができます。その後、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$ の関係を利用して$\sin \theta$ を求めます。

3. ポイントまとめ

• 3つの相互関係を覚える:

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

2. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

3. $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

• 導出方法を理解する: 公式を丸暗記するだけでなく、直角三角形の定義と三平方の定理から導出できることを理解しておくと、忘れにくくなります。特に$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$は、他の2つの公式の導出の基礎にもなります。

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が最も重要: この公式は、$\sin \theta$ と$\cos \theta$ のどちらか一方が分かれば、もう一方を求めるために最もよく使われます。

• 与えられた値に応じて使い分ける:

* $\sin \theta$ や$\cos \theta$ が分かっている場合は、まず$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使って残りの$\sin \theta$ または$\cos \theta$ を求めるのが効率的です。

* $\tan \theta$ が分かっている場合は、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を使って$\cos \theta$ を求め、その後$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$ を利用するのがスムーズです。

• 符号に注意: 数学Iの三角比では、まず鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）を扱います。この範囲では、$\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ の値はすべて正になります。平方根をとる際には、このことを忘れずに確認しましょう。

これらの相互関係を使いこなせるようになると、三角比を用いた様々な問題に対応できるようになります。