【高2物理】運動量保存則で衝突問題を解く手順

運動量保存則とは？

運動量保存則は、物体同士が衝突したり分裂したりする際に、その系の全運動量が一定に保たれるという物理の重要な法則です。ここでいう「系」とは、注目している物体全体を指します。運動量は、物体の質量 $m$ と速度 $\vec{v}$ の積として定義されるベクトル量です。つまり、運動量 $\vec{p}$ は次のように表されます。

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

運動量保存則が成り立つのは、系に外力が働かないか、あるいは衝突のように非常に短い時間で大きな力が働く場合に、その外力の影響が無視できるとみなせる場合です。衝突の瞬間には、物体同士が及ぼし合う力（内力）が非常に大きいため、重力や摩擦力といった外力の影響は相対的に小さく、無視できることが多いのです。

衝突問題で運動量保存則を使う手順

衝突問題を解く際に運動量保存則を適用する手順を、具体的に見ていきましょう。

ステップ1: 状況を把握し、正の向きを設定する

まず、問題文をよく読み、衝突する物体の質量、衝突前の速度、衝突後の速度（未知のものも含む）などを正確に把握します。

1. 図を描く: 衝突前と衝突後の状況を簡単な図で描き、各物体の位置や速度の向きを視覚的に整理します。
2. 正の向きを設定する: 運動量はベクトル量であるため、向きが重要です。問題を解く上で基準となる「正の向き」を明確に設定しましょう。通常は、右向きや上向きを正とすることが多いですが、任意に設定できます。一度決めた正の向きは、問題全体を通して一貫して使用します。

ステップ2: 衝突前後の運動量を表現する

設定した正の向きに従って、各物体の運動量を式で表現します。

• 衝突前の運動量: 各物体の質量 $m_1, m_2, \dots$ と、正の向きを基準とした衝突前の速度 $v_1, v_2, \dots$ を用いて、各物体の運動量 $m_1v_1, m_2v_2, \dots$ を表します。速度が正の向きと逆の場合には、負の符号をつけます。
• 衝突後の運動量: 同様に、各物体の質量 $m_1, m_2, \dots$ と、正の向きを基準とした衝突後の速度 $v'_1, v'_2, \dots$ を用いて、各物体の運動量 $m_1v'_1, m_2v'_2, \dots$ を表します。

ステップ3: 運動量保存則の式を立てる

衝突前の全運動量の和と、衝突後の全運動量の和が等しいという運動量保存則の式を立てます。

$$m_1v_1 + m_2v_2 + \dots = m_1v'_1 + m_2v'_2 + \dots$$

この式は、一直線上の衝突（一次元衝突）の場合です。もし二次元衝突であれば、$x$方向と$y$方向それぞれについて運動量保存則の式を立てる必要があります。

$$\begin{cases}

m_1v_{1x} + m_2v_{2x} + \dots = m_1v'_{1x} + m_2v'_{2x} + \dots \\

m_1v_{1y} + m_2v_{2y} + \dots = m_1v'_{1y} + m_2v'_{2y} + \dots

\end{cases}$$

ステップ4: 必要に応じて、はね返り係数（反発係数）の式を立てる

衝突問題では、運動量保存則だけでは未知数が多すぎて解けない場合があります。特に、衝突後の各物体の速度を求めたい場合、もう一つ式が必要になります。その際に用いるのが「はね返り係数（反発係数）」$e$ の式です。はね返り係数は、衝突における相対速度の変化の割合を示す量で、次の式で定義されます。

$$e = -\frac{\text{衝突後の相対速度}}{\text{衝突前の相対速度}} = -\frac{v'_2 - v'_1}{v_2 - v_1}$$

• $e=1$: 完全弾性衝突（力学的エネルギーが保存される衝突）
• $0 < e < 1$: 非弾性衝突（力学的エネルギーが減少する衝突）
• $e=0$: 完全非弾性衝突（衝突後に物体が一体となる衝突）

問題文にはね返り係数の値が与えられているか、衝突の種類（弾性衝突、完全非弾性衝突など）が明記されている場合は、この式も利用します。

ステップ5: 連立方程式を解く

ステップ3で立てた運動量保存則の式と、ステップ4で立てたはね返り係数の式（または他の条件式）を連立方程式として解き、未知の速度などを求めます。

ステップ6: 解答の確認

求めた速度が、物理的に妥当な値であるかを確認しましょう。例えば、衝突後に物体が逆向きに進むはずなのに同じ向きになっている、速度が異常に大きい、などの場合は、計算ミスや式の立て間違いがないか見直す必要があります。

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具体例：一直線上の衝突

質量 $m_A$ の物体Aが右向きに速さ $v_A$ で進み、静止している質量 $m_B$ の物体Bに衝突した。衝突後、物体Aは速さ $v'_A$ で左向きに進み、物体Bは速さ $v'_B$ で右向きに進んだとする。このときの $v'_A$ と $v'_B$ を求めよ。ただし、はね返り係数を $e$ とする。

手順に沿って解く

ステップ1: 状況を把握し、正の向きを設定する

• 図: (衝突前) A ($m_A, v_A$) → B ($m_B, 0$)

(衝突後) A ($m_A, v'_A$) ← B ($m_B, v'_B$) →

• 正の向き: 右向きを正とする。

ステップ2: 衝突前後の運動量を表現する

• 衝突前の運動量:

* 物体A: $m_A v_A$

* 物体B: $m_B \cdot 0 = 0$

* 合計: $m_A v_A$

• 衝突後の運動量:

* 物体A: $m_A (-v'_A)$ (左向きなので負)

* 物体B: $m_B v'_B$

* 合計: $-m_A v'_A + m_B v'_B$

ステップ3: 運動量保存則の式を立てる

衝突前の全運動量の和 = 衝突後の全運動量の和

$$m_A v_A = -m_A v'_A + m_B v'_B \quad \text{①}}$$

ステップ4: はね返り係数の式を立てる

$$e = -\frac{v'_B - (-v'_A)}{0 - v_A} = -\frac{v'_B + v'_A}{-v_A} = \frac{v'_B + v'_A}{v_A}$$

よって、

$$v'_B + v'_A = e v_A \quad \text{②}}$$

ステップ5: 連立方程式を解く

①と②の連立方程式を解きます。

②より $v'_B = e v_A - v'_A$ を①に代入すると、

$m_A v_A = -m_A v'_A + m_B (e v_A - v'_A)$

$m_A v_A = -m_A v'_A + m_B e v_A - m_B v'_A$

$m_A v_A - m_B e v_A = -m_A v'_A - m_B v'_A$

$v_A (m_A - m_B e) = -v'_A (m_A + m_B)$

$$v'_A = -\frac{m_A - m_B e}{m_A + m_B} v_A = \frac{m_B e - m_A}{m_A + m_B} v_A$$

次に $v'_A$ を②に代入して $v'_B$ を求めます。

$v'_B = e v_A - v'_A = e v_A - \frac{m_B e - m_A}{m_A + m_B} v_A$

$v'_B = v_A \left( e - \frac{m_B e - m_A}{m_A + m_B} \right)$

$v'_B = v_A \left( \frac{e(m_A + m_B) - (m_B e - m_A)}{m_A + m_B} \right)$

$v'_B = v_A \left( \frac{m_A e + m_B e - m_B e + m_A}{m_A + m_B} \right)$

$$v'_B = \frac{m_A (1+e)}{m_A + m_B} v_A$$

ステップ6: 解答の確認

• $v'_A$ の式では、分子が $m_B e - m_A$ となっており、これが正か負かによってAの衝突後の向きが変わることがわかります。例えば、AがBよりもはるかに重い場合 ($m_A \gg m_B$) や、弾性衝突 ($e=1$) であれば、Aは衝突後も同じ向きに進む可能性があります。この結果は物理的に妥当です。
• $v'_B$ の式は常に正であり、Bは衝突後に常に右向き（正の向き）に進むことがわかります。これも物理的に妥当です。

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ポイントまとめ

• 運動量はベクトル量である: 向きを考慮し、正の向きを明確に設定することが最も重要です。逆向きの速度には負の符号をつけます。
• 運動量保存則の適用条件: 外力が作用しないか、作用しても無視できるような短時間の現象（衝突など）に適用できます。
• 連立方程式: 衝突後の複数の未知数を求めるためには、運動量保存則の式だけでは不十分な場合が多いです。はね返り係数の式や、物体が一体となる（完全非弾性衝突 $e=0$）などの条件を併用して連立方程式を解きます。
• 図の活用: 衝突前後の状況を図示することで、速度の向きや運動量の符号ミスを防ぎ、問題を整理しやすくなります。