正弦定理と余弦定理どっちを使う？条件別の見分け方【高1数学】

正弦定理と余弦定理の使い分けをマスターしよう！

「正弦定理と余弦定理、いつどっちを使えばいいのか分からない！」

そう思っている高校1年生の皆さん、安心してください。この教材では、それぞれの定理がどんなときに役立つのか、そしてどう使い分ければいいのかを、具体的な例を交えながら解説していきます。

1. 正弦定理とは？

正弦定理は、三角形の辺の長さとその対角（向かい合う角）の正弦（サイン）の値の関係を示す定理です。

公式

三角形ABCにおいて、3つの頂点A, B, Cの対辺の長さをそれぞれ $a, b, c$ とし、外接円の半径を $R$ とすると、次の関係が成り立ちます。

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$

正弦定理を使うのはこんなとき！

正弦定理は、主に次のような情報が与えられている場合に有効です。

• 「1組の辺とその対角」の情報がわかっているとき

* 例: 辺 $a$ と角 $A$ の両方が分かっている

• 「2つの角と1つの辺」がわかっているとき

* 残りの辺の長さを求めたい場合に利用できます。

• 「2つの辺と1つの対角」がわかっているとき

* 残りの角の大きさを求めたい場合に利用できます。

• 三角形の外接円の半径を求めたいとき

例題1: 正弦定理を使ってみよう

問1

三角形ABCにおいて、$A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$, $a = 10$ のとき、辺 $b$ の長さを求めなさい。

答え: $b = 5\sqrt{6}$

解説:

与えられた情報は「角A ($45^\circ$) とその対辺 $a$ ($10$)」のペア、そして「角B ($60^\circ$)」です。

求めたいのは辺 $b$ なので、正弦定理 $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $ を利用します。

$$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} $$

それぞれのサインの値を代入します。

$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$$ \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$

両辺に $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ をかけると、

$$ b = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ b = 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ b = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$

$$ b = \frac{10\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} $$

$$ b = \frac{10\sqrt{6}}{2} $$

$$ b = 5\sqrt{6} $$

したがって、辺 $b$ の長さは $5\sqrt{6}$ です。

2. 余弦定理とは？

余弦定理は、三角形の3辺の長さと1つの角の余弦（コサイン）の値の関係を示す定理です。

公式

三角形ABCにおいて、3つの頂点A, B, Cの対辺の長さをそれぞれ $a, b, c$ とすると、次の関係が成り立ちます。

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$

$$ b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B $$

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$

また、これらの式は角度を求める形に変形することもできます。

$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$

$$ \cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} $$

$$ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $$

余弦定理を使うのはこんなとき！

余弦定理は、主に次のような情報が与えられている場合に有効です。

• 「2つの辺とその間の角」がわかっているとき

* 例: 辺 $b$, 辺 $c$ とその間の角 $A$ が分かっている

* 残りの1辺の長さを求めたい場合に利用できます。

• 「3つの辺」の長さがわかっているとき

* いずれかの角の大きさを求めたい場合に利用できます。

例題2: 余弦定理を使ってみよう

問2

三角形ABCにおいて、$b = 5$, $c = 8$, $A = 60^\circ$ のとき、辺 $a$ の長さを求めなさい。

答え: $a = 7$

解説:

与えられた情報は「2辺 ($b=5$, $c=8$) とその間の角 $A$ ($60^\circ$)」です。

求めたいのは辺 $a$ なので、余弦定理 $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $ を利用します。

$$ a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos 60^\circ $$

それぞれの値を代入します。

$ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

$$ a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} $$

$$ a^2 = 89 - 40 $$

$$ a^2 = 49 $$

$a$ は辺の長さなので $a > 0$ です。

$$ a = \sqrt{49} $$

$$ a = 7 $$

したがって、辺 $a$ の長さは $7$ です。

3. 正弦定理と余弦定理の使い分けのポイント

結局、どちらの定理を使えばいいのか迷ったときは、以下のポイントを確認してみましょう。

• 正弦定理を使うことが多いケース

* 「辺と対角のペア」が1組以上分かっている場合

* 例: $a$ と $A$ の両方が分かっている。

* 外接円の半径 $R$ が関係する場合も正弦定理です。

• 余弦定理を使うことが多いケース

* 「2つの辺とその間の角」が分かっている場合

* 例: $b, c$ と $A$ が分かっている。

* 「3つの辺」の長さがすべて分かっている場合

* 角の大きさを求めたいときに使います。

考え方のヒント

問題を解く際は、まず三角形の図を描いて、与えられている情報（辺の長さ、角の大きさ）と求めたい情報（辺の長さ、角の大きさ）を書き込んでみましょう。

1. 「辺と対角のペア」がそろっているか確認する。

* もしそろっていれば、正弦定理が使える可能性が高いです。

1. 「2辺とその間の角」または「3辺」がそろっているか確認する。

* もしそろっていれば、余弦定理が使える可能性が高いです。

1. 情報が足りない場合

* 三角形の内角の和が $180^\circ$ であることを利用して、未知の角を計算できないか考えてみましょう。

* 例えば、2つの角が分かっていれば、残りの1つの角も分かります。そうすると、「辺と対角のペア」が作れるかもしれません。

これらのポイントを意識することで、どちらの定理を使うべきか判断できるようになります。たくさん問題を解いて、使い分けに慣れていきましょう！