三角比で90度超の角どう扱う？単位円で一発解決【高1数学】

高校数学の「三角比」では、鋭角（0度より大きく90度未満の角）の三角比を学習しましたね。しかし、三角形の角の中には90度を超える「鈍角」もあります。また、図形問題を解く際には、90度を超える角の三角比が必要になることがあります。

この教材では、90度を超える角、特に0度から180度までの角の三角比（sin, cos, tan）の求め方について、基本的な考え方と具体的な計算方法を学びます。

1. 座標平面と三角比

これまでの鋭角の三角比は、直角三角形を使って定義しました。しかし、鈍角では直角三角形が作れないため、座標平面を使って三角比を考えます。

原点Oを中心とする半径 $r$ の円を考えます。この円周上に点P$(x, y)$ をとります。$x$軸の正の部分から反時計回りに測った動径OPがなす角を $\theta$ とします。このとき、三角比は次のように定義されます。

• $\sin \theta = \frac{y}{r}$
• $\cos \theta = \frac{x}{r}$
• $\tan \theta = \frac{y}{x}$ （ただし、$x \neq 0$）

この定義を使えば、$\theta$ が鈍角（90度より大きく180度未満の角）の場合でも三角比を考えることができます。

2. 鈍角の三角比の符号と値

鈍角の場合、点Pは第2象限に位置します。第2象限では、$x$座標は負、$y$座標は正となります。半径 $r$ は常に正の値です。

このことから、鈍角の三角比の符号は次のようになります。

• $\sin \theta$: $y$ が正なので、$\sin \theta$ は 正
• $\cos \theta$: $x$ が負なので、$\cos \theta$ は 負
• $\tan \theta$: $y$ が正、$x$ が負なので、$\tan \theta$ は 負

鋭角の三角比との関係

鈍角 $\theta$ の三角比は、鋭角 $180^\circ - \theta$ の三角比を使って求めることができます。これは、座標平面上で点P$(x, y)$ と点P'$(-x, y)$ の関係を考えると理解できます。角 $\theta$ と $180^\circ - \theta$ は$y$軸に関して対称な位置にあるため、次のような関係が成り立ちます。

• $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$
• $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$
• $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$

これらの関係を使えば、鋭角の三角比の値を知っていれば、鈍角の三角比の値を求めることができます。

3. 0度、90度、180度の三角比

座標平面上の定義を使えば、これらの特別な角の三角比も考えることができます。

• $\theta = 0^\circ$

* 点Pは$(r, 0)$ にあると考える。

* $\sin 0^\circ = \frac{0}{r} = 0$

* $\cos 0^\circ = \frac{r}{r} = 1$

* $\tan 0^\circ = \frac{0}{r} = 0$

• $\theta = 90^\circ$

* 点Pは$(0, r)$ にあると考える。

* $\sin 90^\circ = \frac{r}{r} = 1$

* $\cos 90^\circ = \frac{0}{r} = 0$

* $\tan 90^\circ$: 分母が $0$ になるため 定義されない

• $\theta = 180^\circ$

* 点Pは$(-r, 0)$ にあると考える。

* $\sin 180^\circ = \frac{0}{r} = 0$

* $\cos 180^\circ = \frac{-r}{r} = -1$

* $\tan 180^\circ = \frac{0}{-r} = 0$

4. 例題

例題1: $\sin 120^\circ$, $\cos 120^\circ$, $\tan 120^\circ$ の値を求めなさい。

考え方: $120^\circ$ は鈍角なので、$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ の鋭角の三角比を利用します。

• $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$
• $\tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$

例題2: $\sin 150^\circ$, $\cos 150^\circ$, $\tan 150^\circ$ の値を求めなさい。

考え方: $150^\circ$ は鈍角なので、$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ の鋭角の三角比を利用します。

• $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

5. 練習問題

問1: $\sin 135^\circ$, $\cos 135^\circ$, $\tan 135^\circ$ の値を求めなさい。

答え:

$\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 135^\circ = -1$

解説: $135^\circ$ は鈍角なので、$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ の鋭角の三角比を利用します。$45^\circ$ の三角比は $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\tan 45^\circ = 1$ です。

• $\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$

まとめ

• 90度を超える角の三角比は、座標平面上の定義で考える。
• 鈍角（第2象限）では、sinは正、cosとtanは負になる。
• 鈍角 $\theta$ の三角比は、鋭角 $180^\circ - \theta$ の三角比を用いて計算する。

* $\sin \theta = \sin(180^\circ - \theta)$

* $\cos \theta = -\cos(180^\circ - \theta)$

* $\tan \theta = -\tan(180^\circ - \theta)$

• 0度、90度、180度の三角比の値もしっかり覚えること。