二次関数の最大最小は軸の位置で3通り！場合分けの見分け方【高1数学】

二次関数の最大値・最小値を求める問題は、グラフの形と定義域（$x$ の範囲）によってどこが最大・最小になるかが変わるため、少し複雑に感じることがありますね。

特に「軸と定義域の場合分け」は、多くの生徒さんがつまずきやすいポイントです。

でも、大丈夫！考え方のコツをしっかりつかめば、どんな問題にも対応できるようになりますよ。

なぜ場合分けが必要なの？

二次関数のグラフは放物線なので、頂点で最大値または最小値をとります。しかし、定義域が定められている場合、その定義域の中に頂点が含まれていないこともありますよね。

例えば、$y = x^2$ という関数を考えてみましょう。

• もし定義域が $x$ がすべての実数なら、最小値は $x=0$ のとき $y=0$ です。
• もし定義域が $1

e x

e 3$ なら、グラフは定義域内でずっと増加しているので、最小値は $x=1$ のとき $y=1$、最大値は $x=3$ のとき $y=9$ となります。

このように、定義域が変わると、最大値や最小値をとる場所も変わってしまいます。

そこで、「軸」の位置と「定義域」の位置関係によって、場合分けをして考える必要があるのです。

場合分けの考え方：3つのパターン

二次関数 $y = a(x-p)^2 + q$ の軸は直線 $x=p$ です。そして、定義域を $m

e x

e n$ とします。

考えるべきは、この軸 $x=p$ が定義域 $m

e x

e n$ に対してどこにあるか、という3つのパターンです。

パターン1：軸が定義域の「左側」にある場合 ($p < m$)

• グラフのイメージ：定義域の範囲では、グラフは右肩上がり（$a>0$ の場合）または右肩下がり（$a<0$ の場合）になります。
• $a>0$（下に凸）のとき

* 最小値：定義域の左端 $x=m$ でとります。

* 最大値：定義域の右端 $x=n$ でとります。

• $a<0$（上に凸）のとき

* 最小値：定義域の右端 $x=n$ でとります。

* 最大値：定義域の左端 $x=m$ でとります。

パターン2：軸が定義域の「中」にある場合 ($m

e p

e n$)

• グラフのイメージ：定義域の範囲に頂点が含まれます。グラフは軸を境に増減が入れ替わります。
• $a>0$（下に凸）のとき

* 最小値：頂点 $x=p$ でとります。

* 最大値：定義域の左右の端 $x=m$ と $x=n$ のうち、軸 $x=p$ から「遠い方」でとります。

* $|m-p|$ と $|n-p|$ を比較し、値が大きい方を選びます。

• $a<0$（上に凸）のとき

* 最大値：頂点 $x=p$ でとります。

* 最小値：定義域の左右の端 $x=m$ と $x=n$ のうち、軸 $x=p$ から「遠い方」でとります。

* $|m-p|$ と $|n-p|$ を比較し、値が大きい方を選びます。

パターン3：軸が定義域の「右側」にある場合 ($p > n$)

• グラフのイメージ：定義域の範囲では、グラフは左肩上がり（$a>0$ の場合）または左肩下がり（$a<0$ の場合）になります。
• $a>0$（下に凸）のとき

* 最小値：定義域の右端 $x=n$ でとります。

* 最大値：定義域の左端 $x=m$ でとります。

• $a<0$（上に凸）のとき

* 最小値：定義域の左端 $x=m$ でとります。

* 最大値：定義域の右端 $x=n$ でとります。

例題に挑戦！

実際に問題を解いて、場合分けの考え方を身につけましょう。

問題

二次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0

e x

e a$) の最小値を求めなさい。

解説

まず、与えられた二次関数を平方完成して、頂点と軸を求めます。

$$y = x^2 - 4x + 1$$

$$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1$$

$$y = (x-2)^2 - 3$$

この二次関数の軸は直線 $x=2$、頂点は $(2, -3)$ です。

グラフは下に凸（$x^2$ の係数が正）なので、最小値を考えます。

定義域は $0

e x

e a$ です。

軸 $x=2$ と定義域 $0

e x

e a$ の位置関係で場合分けをします。

Case 1：軸が定義域の右側にある場合 ($a < 2$)

• 条件: $a < 2$ のとき
• 状況: 定義域 $0

e x

e a$ は、軸 $x=2$ の左側に完全にあります。

* イメージ：$0$ から $a$ までの範囲で、グラフはひたすら下がっていきます。

• 最小値: $x$ が $a$ に近づくほど $y$ の値が小さくなるため、定義域の右端 $x=a$ で最小値をとります。

* $x=a$ のとき、最小値 $y = a^2 - 4a + 1$

Case 2：軸が定義域の中または左端にある場合 ($a

e 2$)

• 条件: $a

e 2$ のとき

• 状況: 定義域 $0

e x

e a$ の中に軸 $x=2$ が含まれています。

* イメージ：定義域の中に頂点が含まれるので、頂点が最小値になります。

• 最小値: 頂点の $y$ 座標がそのまま最小値となります。

* $x=2$ のとき、最小値 $y = -3$

まとめ

この問題の最小値は、場合分けによって次のように表せます。

• $a < 2$ のとき：最小値は $a^2 - 4a + 1$ ($x=a$ のとき)
• $a

e 2$ のとき：最小値は $-3$ ($x=2$ のとき)

最大値の場合分け（補足）

今回の問題では最小値を求めましたが、もし最大値を求める場合は、Case 2（軸が定義域の中にある場合）でさらに場合分けが必要になります。

最大値は定義域の端点のどちらかでとるので、軸から遠い方の端点を探す必要があります。

• $y = (x-2)^2 - 3$ の定義域が $0

e x

e a$ で、軸が $x=2$ の場合：

* $x=0$ から軸までの距離は $|0-2|=2$

* $x=a$ から軸までの距離は $|a-2|$

この2つの距離を比較して、最大値をとる $x$ の値を判断します。

* $|a-2| < 2$ (つまり $2 < a < 4$) のとき、$x=0$ の方が軸から遠いので、$x=0$ で最大値 $y=1$。

* $|a-2| = 2$ (つまり $a=4$) のとき、$x=0$ と $x=4$ が同じ距離なので、$x=0$ または $x=4$ で最大値 $y=1$。

* $|a-2| > 2$ (つまり $a > 4$) のとき、$x=a$ の方が軸から遠いので、$x=a$ で最大値 $y=a^2 - 4a + 1$。

このように、最大値を求める場合は、軸と定義域の「中央」との位置関係も考慮することがポイントになります。

学習のポイント

1. 平方完成：まずは二次関数を $y=a(x-p)^2+q$ の形にして、軸 $x=p$ を見つけましょう。
2. グラフの向き：$a$ の符号で、グラフが下に凸か上に凸かを確認しましょう。
3. 軸と定義域の関係：軸が定義域の「左」「中」「右」のどこにあるかで場合分けをします。図を書いて考えると理解しやすいですよ。
4. 端点の比較：最大値や最小値が定義域の端点でとられる場合、どちらの端点が該当するかをしっかり判断しましょう。

焦らず、一つ一つのステップを丁寧に確認しながら練習問題を解いてみてください。

繰り返し練習することで、必ず得意になりますよ！