【高1数学】判別式Dで二次方程式の解の個数を見分ける

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) の解の個数（種類）は、判別式 $D$ を用いて見分けることができます。

1. 判別式とは？

二次方程式の解は、解の公式によって求めることができます。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

この解の公式の中の $\sqrt{ }$ の中身、$b^2 - 4ac$ の部分を判別式といい、$D$ で表します。

$$D = b^2 - 4ac$$

判別式 $D$ の値の符号によって、二次方程式の解が実数になるか虚数になるか、またその個数が変わってきます。

2. 判別式Dによる解の個数の見分け方

判別式 $D$ の値によって、解の個数（種類）は次のように分類されます。

1. $D > 0$ のとき

異なる2つの実数解を持ちます。

（$\sqrt{D}$ が0でない実数になるため、$x = \frac{-b \pm \text{（実数）}}{2a}$ のように2つの異なる実数解が得られます。）

グラフでは、$y = ax^2 + bx + c$ の放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わります。

1. $D = 0$ のとき

重解（1つの実数解）を持ちます。

（$\sqrt{D} = \sqrt{0} = 0$ となるため、$x = \frac{-b \pm 0}{2a} = \frac{-b}{2a}$ のように1つの実数解が得られます。）

グラフでは、$y = ax^2 + bx + c$ の放物線が $x$ 軸に接します。

1. $D < 0$ のとき

異なる2つの虚数解を持ちます。

（$\sqrt{D}$ が純虚数または虚数になるため、$x = \frac{-b \pm \text{（虚数）}}{2a}$ のように2つの異なる虚数解が得られます。）

グラフでは、$y = ax^2 + bx + c$ の放物線が $x$ 軸と交わりません。

3. 具体例で確認しよう

例1: $x^2 - 5x + 6 = 0$

この二次方程式では、$a=1, b=-5, c=6$ です。

判別式 $D$ を計算します。

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$D = 1$ であり、$D > 0$ です。

したがって、この二次方程式は異なる2つの実数解を持ちます。

（実際に解くと $x=2, x=3$ となります。）

例2: $x^2 - 4x + 4 = 0$

この二次方程式では、$a=1, b=-4, c=4$ です。

判別式 $D$ を計算します。

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$$

$D = 0$ です。

したがって、この二次方程式は重解を持ちます。

（実際に解くと $x=2$ (重解) となります。）

例3: $x^2 + x + 1 = 0$

この二次方程式では、$a=1, b=1, c=1$ です。

判別式 $D$ を計算します。

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$$

$D = -3$ であり、$D < 0$ です。

したがって、この二次方程式は異なる2つの虚数解を持ちます。

（実際に解くと $x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ となります。）

4. ポイントまとめ

• 二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の個数（種類）は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号で決まります。
• $D > 0$ なら「異なる2つの実数解」
• $D = 0$ なら「重解（1つの実数解）」
• $D < 0$ なら「異なる2つの虚数解」

判別式は、実際に解を求めることなく、解がどのような性質を持つかを判断できる便利なツールです。