二次不等式の解、外側と内側どっち？判別式と符号で見分ける手順【高1数学】

二次不等式の解の書き方、特に $x < \alpha$ や $\alpha < x < \beta$ の見分け方で困っているのですね。大丈夫です！二次不等式は、二次関数のグラフをイメージできるようになると、とても簡単に解けるようになります。

1. 二次不等式を解くとはどういうこと？

二次不等式とは、$ax^2 + bx + c > 0$ や $ax^2 + bx + c < 0$ のように、不等号を含む二次式のことです。これを解くということは、「この不等式が成り立つような $x$ の値の範囲を求める」ということです。

このとき、二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフを考えるのがポイントです。

• $ax^2 + bx + c > 0$ を解く → グラフが $x$ 軸より上にある部分の $x$ の範囲を求める。
• $ax^2 + bx + c < 0$ を解く → グラフが $x$ 軸より下にある部分の $x$ の範囲を求める。

2. 二次関数のグラフと $x$ 軸との関係

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフは放物線になります。この放物線が $x$ 軸とどこで交わるか（共有点を持つか）が重要です。これは、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解（根）を求めることと同じです。

放物線と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$（ただし $\alpha < \beta$ とします）とすると、グラフは大きく分けて2つのパターンで $x$ 軸と交わります。

ポイント1：$x^2$ の係数 $a$ が正の場合（$a > 0$）

放物線は下に凸（開いている方向が上）になります。この場合が最もよく出てくるので、このパターンでしっかり理解しましょう。

$$y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)$$

• $ax^2 + bx + c > 0$ （グラフが $x$ 軸より上）の場合

* グラフは $x$ 軸の「外側」、つまり $x < \alpha$ の範囲と $x > \beta$ の範囲で $x$ 軸より上にあります。

* 解の形: $x < \alpha, x > \beta$

• $ax^2 + bx + c < 0$ （グラフが $x$ 軸より下）の場合

* グラフは $x$ 軸の「内側」、つまり $\alpha < x < \beta$ の範囲で $x$ 軸より下にあります。

* 解の形: $\alpha < x < \beta$

ポイント2：$x^2$ の係数 $a$ が負の場合（$a < 0$）

放物線は上に凸（開いている方向が下）になります。

このような場合は、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、$x^2$ の係数を正に変換すると、下に凸のグラフとして考えることができます。このとき、不等号の向きが逆になることに注意してください。

例：$-x^2 + 2x + 3 > 0$

両辺に $-1$ を掛けると、$x^2 - 2x - 3 < 0$ となります。あとはポイント1と同じように解きます。

3. 具体例で確認しよう

いくつかの例題を通して、解の形を見分ける練習をしてみましょう。

問1: 次の二次不等式を解きなさい。

$x^2 - 5x + 6 > 0$

答え: $x < 2, x > 3$

解説: まず、対応する二次方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の解を求めます。

$(x - 2)(x - 3) = 0$

よって、解は $x = 2, 3$ です。これらが $x$ 軸との共有点の $x$ 座標になります。

$x^2$ の係数は $1$（正の数）なので、グラフは下に凸です。

不等号は $ > 0$ なので、グラフが $x$ 軸より上にある範囲を求めます。これは共有点の「外側」の範囲になります。

したがって、$x < 2$ または $x > 3$ が解となります。

問2: 次の二次不等式を解きなさい。

$x^2 - 5x + 6 < 0$

答え: $2 < x < 3$

解説: 問1と同じく、対応する二次方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の解は $x = 2, 3$ です。

$x^2$ の係数は $1$（正の数）なので、グラフは下に凸です。

不等号は $ < 0$ なので、グラフが $x$ 軸より下にある範囲を求めます。これは共有点の「内側」の範囲になります。

したがって、$2 < x < 3$ が解となります。

問3: 次の二次不等式を解きなさい。

$-x^2 + 2x + 3 \ge 0$

答え: $-1 \le x \le 3$

解説: まず、$x^2$ の係数が負なので、両辺に $-1$ を掛けて符号を反転させます。このとき、不等号の向きも逆になることに注意してください。

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

次に、対応する二次方程式 $x^2 - 2x - 3 = 0$ の解を求めます。

$(x + 1)(x - 3) = 0$

よって、解は $x = -1, 3$ です。

変換後の不等式は $x^2 - 2x - 3 \le 0$ で、$x^2$ の係数は $1$（正の数）なので、グラフは下に凸です。

不等号は $ \le 0$ なので、グラフが $x$ 軸より下、または $x$ 軸上にある範囲を求めます。これは共有点の「内側」の範囲で、共有点自身も含むことになります。

したがって、$-1 \le x \le 3$ が解となります。

4. まとめ：解の形を見分けるコツ

1. 必ず $x^2$ の係数を正にする: もし負だったら、両辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを逆にします。
2. 対応する二次方程式の解を求める: これがグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標になります。小さい方を $\alpha$、大きい方を $\beta$ とします。
3. 不等号の向きで判断する:

* $ax^2 + bx + c > 0$ または $ax^2 + bx + c \ge 0$ の場合（グラフが $x$ 軸より上）

→ 解は「外側」: $x < \alpha, x > \beta$ （等号が付く場合は $x \le \alpha, x \ge \beta$）

* $ax^2 + bx + c < 0$ または $ax^2 + bx + c \le 0$ の場合（グラフが $x$ 軸より下）

→ 解は「内側」: $\alpha < x < \beta$ （等号が付く場合は $\alpha \le x \le \beta$）

二次不等式の問題では、常に「放物線が下に凸で、$x$ 軸とどこで交わるか」をイメージすることが大切です。たくさん問題を解いて、グラフと解の形を感覚でつかんでいきましょう！