二次不等式の解き方はグラフでどう見る?符号の決め方の手順【高1数学】

二次不等式の解き方でお困りですね。二次不等式は、二次関数のグラフを理解することで、とてもスムーズに解けるようになります。一緒にその手順を見ていきましょう。

二次不等式とは？

二次不等式とは、$ax^2 + bx + c > 0$ や $ax^2 + bx + c < 0$ のように、二次式を含む不等式のことを指します。ここで、$a, b, c$ は定数で、$a \neq 0$ です。

この不等式を解くということは、「どのような $x$ の値の範囲で、二次式の値が正になるか（または負になるか）」を求めることです。

なぜグラフを使うのか？

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフは放物線になります。このグラフを利用すると、二次式の値が正になる部分（グラフが $x$ 軸より上にある部分）や、負になる部分（グラフが $x$ 軸より下にある部分）を視覚的に捉えることができます。

• $ax^2 + bx + c > 0$ の解 $\Rightarrow$ $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが $x$ 軸より上にある $x$ の範囲
• $ax^2 + bx + c < 0$ の解 $\Rightarrow$ $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが $x$ 軸より下にある $x$ の範囲
• $ax^2 + bx + c \ge 0$ の解 $\Rightarrow$ $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが $x$ 軸より上、または $x$ 軸上にある $x$ の範囲
• $ax^2 + bx + c \le 0$ の解 $\Rightarrow$ $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが $x$ 軸より下、または $x$ 軸上にある $x$ の範囲

二次不等式の解き方：基本手順

二次不等式を解くためのステップは以下の通りです。

ステップ1: 対応する二次関数を考える

与えられた二次不等式を、$ax^2 + bx + c$ の形に整理し、$y = ax^2 + bx + c$ という二次関数を考えます。

ステップ2: $x$ 軸との交点（二次方程式の解）を求める

$y = ax^2 + bx + c$ のグラフが $x$ 軸とどこで交わるかを調べます。これは、$ax^2 + bx + c = 0$ という二次方程式を解くことで求められます。

• 因数分解できる場合は因数分解を利用する。
• 因数分解が難しい場合は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を利用する。
• このとき、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号によって、$x$ 軸との交点の数が変わることを意識しましょう。

* $D > 0$: 異なる2点で交わる

* $D = 0$: 1点で接する

* $D < 0$: 交点を持たない（グラフは $x$ 軸と交わらない）

ステップ3: グラフの概形を描く

ステップ2で求めた $x$ 軸との交点と、二次関数のグラフが上に開くか下に開くか（$a$ の符号で決まる）を確認して、グラフの概形を描きます。

• $a > 0$: 下に凸（開く）の放物線
• $a < 0$: 上に凸（開く）の放物線

ステップ4: グラフから解の範囲を読み取る

不等号の向き（$>, <, \ge, \le$）とステップ3で描いたグラフを見比べて、$x$ の範囲を導き出します。

具体例で見てみよう

例題1: $x^2 - 5x + 6 > 0$ を解く

ステップ1: 対応する二次関数は $y = x^2 - 5x + 6$ です。

ステップ2: $x$ 軸との交点を求めます。

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x-2)(x-3) = 0$

よって、$x = 2, 3$

ステップ3: グラフの概形を描きます。

$x^2$ の係数は $1$ ($>0$) なので、下に凸の放物線です。$x$ 軸と $x=2$ と $x=3$ で交わります。

$$ \begin{array}{c|ccccccc} x & \dots & 2 & \dots & 3 & \dots \\ \hline y & \text{正} & 0 & \text{負} & 0 & \text{正} \end{array} $$

ステップ4: グラフから解の範囲を読み取ります。

$x^2 - 5x + 6 > 0$ は、「$y > 0$ となる $x$ の範囲」を意味します。グラフが $x$ 軸より上にあるのは、$x < 2$ の部分と $x > 3$ の部分です。

答え: $x < 2, 3 < x$

例題2: $x^2 - 4x + 4 \le 0$ を解く

ステップ1: 対応する二次関数は $y = x^2 - 4x + 4$ です。

ステップ2: $x$ 軸との交点を求めます。

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

よって、$x = 2$ （重解）

ステップ3: グラフの概形を描きます。

$x^2$ の係数は $1$ ($>0$) なので、下に凸の放物線です。$x$ 軸と $x=2$ で接します。

ステップ4: グラフから解の範囲を読み取ります。

$x^2 - 4x + 4 \le 0$ は、「$y \le 0$ となる $x$ の範囲」を意味します。グラフが $x$ 軸より下にある部分はありません。$x$ 軸上にくるのは $x=2$ のみです。

答え: $x = 2$

例題3: $x^2 + 2x + 3 > 0$ を解く

ステップ1: 対応する二次関数は $y = x^2 + 2x + 3$ です。

ステップ2: $x$ 軸との交点を求めます。

$x^2 + 2x + 3 = 0$

判別式 $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$

$D < 0$ なので、この二次方程式は実数解を持ちません。つまり、グラフは $x$ 軸と交わりません。

ステップ3: グラフの概形を描きます。

$x^2$ の係数は $1$ ($>0$) なので、下に凸の放物線です。$x$ 軸と交わらないため、グラフ全体が $x$ 軸より上にあります。

ステップ4: グラフから解の範囲を読み取ります。

$x^2 + 2x + 3 > 0$ は、「$y > 0$ となる $x$ の範囲」を意味します。グラフは常に $x$ 軸より上にあるため、すべての実数 $x$ でこの条件を満たします。

答え: すべての実数

まとめ：二次不等式を解くポイント

• 二次不等式 ＝ 二次関数のグラフと $x$ 軸の位置関係
• 手順:

1. 対応する二次方程式の解（$x$ 軸との交点）を求める。

2. $x^2$ の係数でグラフの向き（上に凸か下に凸か）を確認する。

3. グラフの概形を描き、不等号の向きに合わせて $x$ の範囲を読み取る。

• 判別式 $D$ に注意:

* $D > 0$: 異なる2つの実数解 → $x$ 軸と2点で交わる

* $D = 0$: 重解 → $x$ 軸と1点で接する

* $D < 0$: 実数解なし → $x$ 軸と交わらない

この手順を繰り返し練習することで、二次不等式を自信を持って解けるようになるでしょう。