【高1数学】二次不等式をグラフで解く手順を整理

二次不等式は、数学Ⅰで学ぶ重要な単元の一つです。この不等式を解くとき、二次関数のグラフを利用すると、その意味がとてもよく理解でき、正確に答えを導き出すことができます。

1. 二次不等式をグラフで考える基本的な考え方

二次不等式とは、例えば $ax^2 + bx + c > 0$ や $ax^2 + bx + c < 0$ のように、二次式を含む不等式のことです。

この不等式をグラフで考えるとは、次のように捉えることです。

• $ax^2 + bx + c > 0$ の場合

これは「二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、x軸よりも上側にある部分のxの範囲はどこか」という意味になります。

• $ax^2 + bx + c < 0$ の場合

これは「二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、x軸よりも下側にある部分のxの範囲はどこか」という意味になります。

このように、二次不等式を解くことは、二次関数のグラフとx軸の位置関係を調べることと同じなのです。

2. 二次不等式をグラフで解く手順

具体的な手順を見ていきましょう。

手順1: 二次関数と二次方程式を考える

与えられた二次不等式の左辺を $y$ とおいて、二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ を考えます。

次に、この二次関数のグラフがx軸とどこで交わるかを調べます。グラフがx軸と交わる点のx座標は、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解になります。

手順2: グラフの概形を描く

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフの概形を描きます。

• グラフの向き

* $a > 0$ のとき：下に凸の放物線

* $a < 0$ のとき：上に凸の放物線

• x軸との交点

手順1で求めた二次方程式の解（x軸との交点のx座標）をグラフに書き込みます。

* 異なる2つの実数解がある場合（判別式 $D > 0$）：x軸と2点で交わる。

* 重解がある場合（判別式 $D = 0$）：x軸と1点で接する。

* 実数解がない場合（判別式 $D < 0$）：x軸と交わらない。

手順3: 不等号の向きとグラフの位置関係を確認する

不等号の向き（$>, <, \ge, \le$）に応じて、グラフのどの部分が条件を満たすのかを確認します。

• $ax^2 + bx + c > 0$ または $ax^2 + bx + c \ge 0$ の場合：

グラフがx軸より上にある部分（またはx軸上を含む部分）を探します。

• $ax^2 + bx + c < 0$ または $ax^2 + bx + c \le 0$ の場合：

グラフがx軸より下にある部分（またはx軸上を含む部分）を探します。

手順4: 解を読み取る

手順3で確認したグラフの部分に対応するxの範囲を読み取り、それが二次不等式の解となります。

3. 具体例で解いてみよう

いくつかの例を通して、上記の手順を実際に適用してみましょう。

例1: $x^2 - 4x + 3 > 0$

1. 二次関数と二次方程式を考える

二次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ を考えます。

二次方程式 $x^2 - 4x + 3 = 0$ を解くと、

$(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、$x = 1, 3$ となります。これがx軸との交点のx座標です。

1. グラフの概形を描く

$x^2$ の係数は $1 (> 0)$ なので、下に凸の放物線です。

x軸と $x=1$ と $x=3$ で交わります。

            y
            ^
            |   / \\
            |  /   \\
            | /     \\
        ----+---------+-----> x
            | 1     3
            |

1. 不等号の向きとグラフの位置関係を確認する

不等式は $x^2 - 4x + 3 > 0$ なので、グラフがx軸より上にある部分を探します。

上の概形を見ると、x軸より上にあるのは、$x < 1$ の部分と $x > 3$ の部分です。

1. 解を読み取る

したがって、解は $x < 1, 3 < x$ となります。

例2: $x^2 - 6x + 9 \le 0$

1. 二次関数と二次方程式を考える

二次関数 $y = x^2 - 6x + 9$ を考えます。

二次方程式 $x^2 - 6x + 9 = 0$ を解くと、

$(x - 3)^2 = 0$

よって、$x = 3$ (重解) となります。x軸と $x=3$ で接します。

1. グラフの概形を描く

$x^2$ の係数は $1 (> 0)$ なので、下に凸の放物線です。

x軸と $x=3$ で接します。

            y
            ^
            |
            |
            |    /
        ----+---o-----> x
            |   3
            |

1. 不等号の向きとグラフの位置関係を確認する

不等式は $x^2 - 6x + 9 \le 0$ なので、グラフがx軸より下にある部分、またはx軸上にある部分を探します。

上の概形を見ると、グラフはx軸より下にはありません。しかし、x軸上には $x=3$ の1点のみが存在します。

1. 解を読み取る

したがって、解は $x = 3$ となります。

例3: $-x^2 + 2x - 2 < 0$

1. 二次関数と二次方程式を考える

まず、二次不等式の $x^2$ の係数が負の場合は、両辺に $-1$ をかけて正にすると考えやすくなります。このとき、不等号の向きが逆になることに注意してください。

$-x^2 + 2x - 2 < 0$

$x^2 - 2x + 2 > 0$

ここで、二次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ を考えます。

二次方程式 $x^2 - 2x + 2 = 0$ の判別式 $D$ を計算すると、

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$

$D < 0$ なので、この二次方程式は実数解を持ちません。つまり、グラフはx軸と交わりません。

1. グラフの概形を描く

$x^2$ の係数は $1 (> 0)$ なので、下に凸の放物線です。

x軸と交わらないので、グラフ全体がx軸より上側にあります。

            y
            ^
           / \\
          /   \\
         /     \\
        +-------------> x
        |
        |

1. 不等号の向きとグラフの位置関係を確認する

不等式は $x^2 - 2x + 2 > 0$ なので、グラフがx軸より上にある部分を探します。

上の概形を見ると、グラフ全体が常にx軸より上側にあります。

1. 解を読み取る

したがって、解は「すべての実数」となります。

4. 二次不等式をグラフで解くポイント

• 視覚的に理解する

二次不等式は、二次関数のグラフとx軸の位置関係として捉えることで、視覚的に理解しやすくなります。まずはグラフを描く習慣をつけましょう。

• x軸との交点がカギ

二次方程式の解が、グラフとx軸との交点のx座標になります。この交点が、不等式の範囲を区切る重要な点となります。

• $x^2$ の係数に注意

$x^2$ の係数が負のときは、両辺に $-1$ をかけて正の係数にすると、グラフの向きが下に凸になり、より考えやすくなります。このとき、不等号の向きを逆にすることを忘れないでください。

• 判別式 $D$ の活用

二次方程式の判別式 $D$ の符号によって、グラフがx軸と「2点で交わる」「1点で接する」「交わらない」のいずれかかが分かります。これにより、グラフの概形を素早く判断できます。

• 不等号の「厳しさ」

$>, <$ はx軸上の点を含まない（交点は含まない）ことを意味し、$\ge, \le$ はx軸上の点を含む（交点を含む）ことを意味します。解の範囲を書く際に、等号を含めるか含めないかに注意しましょう。

二次不等式は、この後学ぶ様々な数学の分野で基礎となる考え方です。グラフを利用して、しっかりと理解を深めてくださいね。