【高3数学】2曲線で囲まれた面積の積分計算のコツ

はじめに

二つの曲線で囲まれた部分の面積を求める問題は、大学入試で頻出です。定積分の基本的な考え方を理解し、正確に計算する力が求められます。ここでは、面積計算の基本的な考え方から、応用的な問題まで、入試で役立つ解法を解説します。

面積を求める基本的な考え方

一般に、区間 $[a, b]$ において、常に $f(x) \ge g(x)$ であるとき、二つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ および直線 $x=a, x=b$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、次の定積分で求められます。

$$S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\} dx$$

ポイント

• グラフの概形を把握する: どちらの関数が上側にあるか、交点がどこにあるかを視覚的に理解することが重要です。
• 交点の座標を求める: 囲まれた部分の積分区間（$a$ と $b$）は、通常、二つの曲線の交点の $x$ 座標になります。
• 被積分関数を正しく設定する: 「上側の関数 - 下側の関数」とすることで、被積分関数が常に0以上になり、面積が正の値として求まります。
• 上下関係が途中で変わる場合: 複数の交点があり、区間によって上下関係が入れ替わる場合は、積分区間を分割し、それぞれの区間で「上側の関数 - 下側の関数」を計算して足し合わせます。

それでは、実際の入試問題を想定した演習問題に挑戦してみましょう。

演習問題

問題1

放物線 $y = -x^2+2x+3$ と直線 $y = x+1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めなさい。

問題2

二つの放物線 $y = x^2-3x+2$ と $y = -x^2+x+2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めなさい。

問題3

曲線 $y = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めなさい。

解答・解説

問題1 解答・解説

模範解答

1. 交点の座標を求める

$-x^2+2x+3 = x+1$

$-x^2+x+2 = 0$

$x^2-x-2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = -1, 2$

1. 積分区間と被積分関数を設定する

区間 $[-1, 2]$ において、放物線 $y = -x^2+2x+3$ が直線 $y = x+1$ より上側にある。

$S = \int_{-1}^2 \{(-x^2+2x+3) - (x+1)\} dx$

$S = \int_{-1}^2 (-x^2+x+2) dx$

1. 定積分を計算する

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-1}^2$

$S = \left( -\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + 2(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 6 \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right)$

$S = \left( \frac{-8+18}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)$

$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

したがって、面積 $S = \frac{9}{2}$

採点ポイント

• 交点の計算: 正しく交点 $x=-1, 2$ を求めているか。
• 被積分関数の設定: 「上側の関数 - 下側の関数」を正しく設定し、$-x^2+x+2$ としているか。
• 積分の計算: 原始関数を正しく求め、計算ミスなく定積分を求めているか。

関連単元へのつながり

• 二次方程式: 交点を求めるために必要です。
• グラフの概形: 放物線と直線の位置関係を把握する上で重要です。
• 定積分の計算: 基本的な計算能力が問われます。

問題2 解答・解説

模範解答

1. 交点の座標を求める

$x^2-3x+2 = -x^2+x+2$

$2x^2-4x = 0$

$2x(x-2) = 0$

よって、$x = 0, 2$

1. 積分区間と被積分関数を設定する

区間 $[0, 2]$ において、どちらの関数が上側にあるかを確認する。

例えば、$x=1$ を代入すると：

$y = 1^2-3(1)+2 = 0$

$y = -(1)^2+1+2 = 2$

よって、$y = -x^2+x+2$ の方が上側にある。

$S = \int_0^2 \{(-x^2+x+2) - (x^2-3x+2)\} dx$

$S = \int_0^2 (-2x^2+4x) dx$

1. 定積分を計算する

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 \right]_0^2$

$S = \left( -\frac{2}{3}(2)^3 + 2(2)^2 \right) - \left( -\frac{2}{3}(0)^3 + 2(0)^2 \right)$

$S = \left( -\frac{16}{3} + 8 \right) - 0$

$S = \frac{-16+24}{3} = \frac{8}{3}$

したがって、面積 $S = \frac{8}{3}$

採点ポイント

• 交点の計算: 正しく交点 $x=0, 2$ を求めているか。
• 上下関係の判断: 2つの放物線のどちらが上側にあるかを正しく判断しているか。
• 積分の計算: 計算ミスなく定積分を求めているか。

関連単元へのつながり

• 二次方程式: 交点を求めるために必要です。
• グラフの概形: 2つの放物線の位置関係を把握する上で重要です。
• 定積分の計算: 基本的な計算能力が問われます。

問題3 解答・解説

模範解答

1. $x$ 軸との交点の座標を求める

$x^3 - x^2 - 2x = 0$

$x(x^2 - x - 2) = 0$

$x(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 2$

1. グラフの概形と積分区間を設定する

$y = x^3 - x^2 - 2x$ のグラフは、$x$軸と $x=-1, 0, 2$ で交わる。

* 区間 $[-1, 0]$ では、$y \ge 0$ (グラフは $x$ 軸より上)。

* 区間 $[0, 2]$ では、$y \le 0$ (グラフは $x$ 軸より下)。

したがって、面積は次のように区間を分けて計算する。

$S = \int_{-1}^0 (x^3 - x^2 - 2x) dx + \int_0^2 |x^3 - x^2 - 2x| dx$

$S = \int_{-1}^0 (x^3 - x^2 - 2x) dx + \int_0^2 -(x^3 - x^2 - 2x) dx$

1. 定積分を計算する

まず、不定積分を求める。

$\int (x^3 - x^2 - 2x) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2 + C$

それぞれの区間で計算する。

$\int_{-1}^0 (x^3 - x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{-1}^0$

$= 0 - \left( \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 \right)$

$= -\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 \right) = -\left( \frac{3+4-12}{12} \right) = -\left( -\frac{5}{12} \right) = \frac{5}{12}$

$\int_0^2 -(x^3 - x^2 - 2x) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_0^2$

$= \left( -\frac{1}{4}(2)^4 + \frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 \right) - 0$

$= \left( -4 + \frac{8}{3} + 4 \right) = \frac{8}{3}$

よって、全体の面積 $S = \frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}$

したがって、面積 $S = \frac{37}{12}$

採点ポイント

• $x$ 軸との交点の計算: 正しく $x=-1, 0, 2$ を求めているか。
• 区間分割の判断: グラフの上下関係を正しく把握し、積分区間を $[-1, 0]$ と $[0, 2]$ に分割しているか。
• 絶対値の処理: $x$ 軸より下側にある区間で、被積分関数にマイナスをつけているか。
• 積分の計算: 2つの区間の定積分をそれぞれ正しく計算し、合計しているか。

関連単元へのつながり

• 高次方程式の解法: 因数定理や因数分解で交点を求めるために必要です。
• 微分法とグラフの概形: 3次関数の増減や極値、$x$軸との交点の位置関係を把握するために重要です。
• 絶対値の概念: 面積が常に正の値であることを理解し、適切に処理するために必要です。

まとめ：面積計算の重要ポイント

入試における面積計算問題は、単に定積分の計算能力だけでなく、以下のような総合的な数学の力が問われます。

• ステップ1: グラフの概形を正確に把握する

* 関数の種類（放物線、3次関数など）から大まかな形を想像する。

* 必要に応じて、交点や頂点、極値などを計算し、詳細な概形を描く。

• ステップ2: 交点の座標を求める

* 連立方程式を解き、積分区間の端点となる $x$ 座標を見つける。

• ステップ3: 上下関係を判断し、被積分関数を設定する

* グラフを見て、どの区間でどの関数が上にあるかを確認する。

* 「上側の関数 - 下側の関数」と設定する。

* もし上下関係が途中で入れ替わる場合は、積分区間を適切に分割する。

• ステップ4: 定積分を正確に計算する

* 原始関数を正しく求め、計算ミスなく定積分を求める。

これらのステップを丁寧に進めることで、複雑な問題にも対応できるようになります。日頃からグラフを描く練習や、計算練習を重ねて、入試本番で実力を発揮できるように準備しましょう。