【高1数学】絶対値を含む方程式の場合分け手順

絶対値を含む方程式を解く際に、「場合分け」という考え方が非常に重要になります。この教材では、絶対値の基本的な定義から、なぜ場合分けが必要なのか、そしてどのように場合分けをして方程式を解いていけば良いのかを、具体的な例を通して詳しく解説します。

1. 絶対値とは？

まず、絶対値の定義を確認しましょう。絶対値は、数直線上で原点（0）からその数までの距離を表します。距離なので、負の数になることはありません。

• 定義

* 実数 $a$ に対して、絶対値 $|a|$ は次のように定義されます。

* $a \ge 0$ のとき、$|a| = a$

* $a < 0$ のとき、$|a| = -a$

例えば、$|5|$ は原点から5までの距離なので $5$ です。$|-3|$ は原点から-3までの距離なので $3$ です。定義に当てはめると、$3 = -(-3)$ となります。

2. なぜ「場合分け」が必要なのか？

絶対値を含む方程式を解くとき、絶対値記号の中の式が正になるか、負になるかによって、絶対値記号の外し方が変わります。そのため、中身の式の符号によって場合を分けて考える必要があるのです。

例えば、$|x|$ という式を考えるとき、

• $x \ge 0$ のときは、$|x| = x$
• $x < 0$ のときは、$|x| = -x$

このように、絶対値記号の中の文字の値によって式の形が変わるため、それぞれの場合で方程式を解き、最終的にそれらの解を統合することになります。

3. 具体例で学ぶ場合分け

例題1：絶対値記号が1つの場合

方程式 $|x-2| = 3$ を解いてみましょう。

絶対値記号の中身は $x-2$ です。この $x-2$ が正になるか負になるかで場合分けをします。境目となるのは $x-2=0$ 、つまり $x=2$ です。

場合分け1：$x-2 \ge 0$ のとき

この条件は $x \ge 2$ と同じです。

このとき、$|x-2| = x-2$ となります。方程式は次のようになります。

$$x-2 = 3$$

$$x = 5$$

得られた解 $x=5$ は、場合分けの条件 $x \ge 2$ を満たしています。したがって、$x=5$ はこの方程式の解の1つです。

場合分け2：$x-2 < 0$ のとき

この条件は $x < 2$ と同じです。

このとき、$|x-2| = -(x-2)$ となります。方程式は次のようになります。

$$-(x-2) = 3$$

$$-x + 2 = 3$$

$$-x = 1$$

$$x = -1$$

得られた解 $x=-1$ は、場合分けの条件 $x < 2$ を満たしています。したがって、$x=-1$ はこの方程式のもう1つの解です。

まとめ

以上より、方程式 $|x-2|=3$ の解は $x=5, -1$ です。

例題2：絶対値記号が2つ以上ある場合

方程式 $|x-1| + |x+2| = 5$ を解いてみましょう。

絶対値記号が複数ある場合は、それぞれの絶対値記号の中身が0になる点を数直線上にプロットし、それらの点で区切られた区間ごとに場合分けをします。

• $|x-1|$ の中身が0になるのは $x-1=0 \implies x=1$
• $|x+2|$ の中身が0になるのは $x+2=0 \implies x=-2$

数直線上にこれらの点を取ると、3つの区間に分けられます。

場合分け1：$x < -2$ のとき

この区間では、$x-1$ も $x+2$ も負になります。

• $x-1 < 0 \implies |x-1| = -(x-1)$
• $x+2 < 0 \implies |x+2| = -(x+2)$

方程式は次のようになります。

$$-(x-1) + (-(x+2)) = 5$$

$$-x+1 -x-2 = 5$$

$$-2x -1 = 5$$

$$-2x = 6$$

$$x = -3$$

得られた解 $x=-3$ は、場合分けの条件 $x < -2$ を満たしています。したがって、$x=-3$ はこの方程式の解の1つです。

場合分け2：$-2 \le x < 1$ のとき

この区間では、$x-1$ は負、$x+2$ は正（または0）になります。

• $x-1 < 0 \implies |x-1| = -(x-1)$
• $x+2 \ge 0 \implies |x+2| = x+2$

方程式は次のようになります。

$$-(x-1) + (x+2) = 5$$

$$-x+1 + x+2 = 5$$

$$3 = 5$$

これは成り立ちません。つまり、この区間には解が存在しないことを示しています。

場合分け3：$1 \le x$ のとき

この区間では、$x-1$ も $x+2$ も正（または0）になります。

• $x-1 \ge 0 \implies |x-1| = x-1$
• $x+2 \ge 0 \implies |x+2| = x+2$

方程式は次のようになります。

$$(x-1) + (x+2) = 5$$

$$x-1+x+2 = 5$$

$$2x+1 = 5$$

$$2x = 4$$

$$x = 2$$

得られた解 $x=2$ は、場合分けの条件 $1 \le x$ を満たしています。したがって、$x=2$ はこの方程式の解の1つです。

まとめ

以上より、方程式 $|x-1| + |x+2| = 5$ の解は $x=-3, 2$ です。

4. 場合分けのポイント

絶対値を含む方程式を解くための場合分けのポイントをまとめます。

1. 絶対値記号の中身が0になる値を特定する

* $|A|$ であれば、$A=0$ となる $x$ の値を求めます。

* 複数の絶対値記号がある場合は、すべての記号の中身が0になる値を求め、それらを数直線上に小さい順に並べます。

1. 数直線で区間分けをする

* 特定した値によって数直線がいくつかの区間に分かれます。

* 各区間において、それぞれの絶対値記号の中身が正になるか負になるかを判断します。

* 等号（$\ge$ や $\le$）は、いずれかの区間に含めれば大丈夫です。一般的には、右側の区間に含めることが多いですが、どちらに含めても結果は同じになります。

1. 各区間で方程式を解く

* 絶対値記号を定義に従って外し、通常の方程式として解きます。

1. 得られた解が、その場合分けの条件を満たしているか確認する

* これが最も重要なステップです。各区間で求めた解が、その区間の条件を満たしていない場合は、その解は「不適」となり、最終的な解には含まれません。

1. すべての区間で得られた解をまとめる

* 各区間で条件を満たした解が、最終的な方程式の解となります。

この手順をしっかりと踏むことで、絶対値を含む方程式を正確に解くことができます。繰り返し練習して、この考え方を身につけましょう。