二次方程式の解の個数を判別式で一発判定するコツ【高1数学】

二次方程式の解の個数を判別する方法について学びましょう。

はじめに：二次方程式の解の個数を知る方法

二次方程式は、形が $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) と表される方程式のことです。この方程式には、解が2つあったり、1つだけだったり、あるいは実数範囲では解がなかったりすることがあります。

実際に解を求めなくても、解がいくつあるかを事前に知ることができる便利な方法があります。それが「判別式」を使う方法です。

二次方程式と解の公式の復習

まず、二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、「解の公式」を使って求めることができます。

$$x = \frac{-b \pm √{b^2 - 4ac}}{2a}$$

この公式をよく見ると、$√{}$ （ルート）の中身である $b^2 - 4ac$ の値が、解の個数を決定する上で非常に重要であることがわかります。

判別式とは？

解の公式の $√{}$ の中身である $b^2 - 4ac$ を「判別式」と呼び、大文字の $D$ で表します。

$$D = b^2 - 4ac$$

この判別式 $D$ の値が、正の数になるか、0になるか、負の数になるかによって、二次方程式の解の個数が決まります。

判別式と解の個数の関係

ケース1: $D > 0$ のとき

判別式 $D$ が正の数（$D > 0$）のとき、$√{D}$ は異なる2つの実数になります。したがって、解の公式の $√{D}$ の部分が $√{D}$ と $-√{D}$ の2つの値を持つため、二次方程式は「異なる2つの実数解」を持ちます。

例: 二次方程式 $x^2 + 5x + 6 = 0$

$a=1, b=5, c=6$ です。

判別式 $D$ を計算すると、

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$D = 1$ で、$D > 0$ です。この方程式は異なる2つの実数解を持ちます。（実際に解くと $x = -2, -3$ となります。）

ケース2: $D = 0$ のとき

判別式 $D$ が $0$（$D = 0$）のとき、$√{D}$ は $√{0} = 0$ となります。解の公式は次のようになります。

$$x = \frac{-b \pm 0}{2a} = \frac{-b}{2a}$$

この場合、$√{}$ の部分が $0$ になるため、解は1つだけになります。これを「ただ1つの実数解（重解）」と呼びます。

例: 二次方程式 $x^2 - 4x + 4 = 0$

$a=1, b=-4, c=4$ です。

判別式 $D$ を計算すると、

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$$

$D = 0$ です。この方程式はただ1つの実数解（重解）を持ちます。（実際に解くと $x = 2$ となります。）

ケース3: $D < 0$ のとき

判別式 $D$ が負の数（$D < 0$）のとき、$√{D}$ は実数になりません。（高校1年生の数学では、負の数の平方根は実数ではありません。）

したがって、二次方程式は「実数解を持たない」と判断します。高校2年生で「虚数」を学ぶと、この場合に「異なる2つの虚数解」を持つことがわかりますが、高校1年生の段階では「実数解を持たない」と理解しておきましょう。

例: 二次方程式 $x^2 + x + 1 = 0$

$a=1, b=1, c=1$ です。

判別式 $D$ を計算すると、

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$$

$D = -3$ で、$D < 0$ です。この方程式は実数解を持ちません。

まとめ

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の値によって次のように判別できます。

• $D > 0$ のとき：異なる2つの実数解
• $D = 0$ のとき：ただ1つの実数解（重解）
• $D < 0$ のとき：実数解を持たない

判別式を使うことで、複雑な計算をしなくても、二次方程式の解の性質を素早く見分けることができます。ぜひ活用してください。