分母の有理化の手順｜√や a+√b の形はどっちで処理する？【中3数学】

みなさん、こんにちは！

今回は、中学3年生で学習する平方根の計算の中でも特に重要な「分母の有理化」について、その意味とやり方を段階的に、ていねいに解説していきます。

1. 「分母の有理化」ってなんだろう？

「有理化（ゆうりか）」とは、分母にある根号（$\sqrt{ }$）をなくして、有理数にすることを言います。

たとえば、$\frac{1}{\sqrt{2}}$ の分母には根号（$\sqrt{2}$）がありますね。これを、$\frac{\sqrt{2}}{2}$ のように、分母に根号がない形に変えるのが「有理化」です。

2. なぜ「有理化」をするの？

「なぜ、わざわざそんなことをするの？」と思うかもしれません。有理化をする理由はいくつかあります。

• 計算がしやすくなる

* 分母に根号があると、足し算や引き算などの計算がやりにくいことがあります。有理化することで、他の数との計算がスムーズになります。

• 数の大きさを比較しやすくなる

* $\frac{1}{\sqrt{2}}$ と言われても、その大きさをすぐにイメージするのは難しいですが、$\frac{\sqrt{2}}{2}$ なら、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$1.414 \div 2 = 0.707$ と、おおよその大きさを把握しやすくなります。

• 数学のルール

* 平方根を含む計算では、分母に根号がない形（有理化された形）で答えるのが一般的なルールになっています。

3. 有理化の考え方

有理化の基本的な考え方は、次の2つのポイントを使います。

1. 分数に同じ数をかけても、値は変わらない

* たとえば、$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$ のように、分母と分子に同じ数をかけても、分数の値は変わりません。この性質を利用します。

1. 同じ根号をかけると、根号が外れる

* $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ となることを利用します。たとえば、$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ ですね。この性質で分母の根号をなくします。

4. 有理化の手順

それでは、実際の有理化の手順を、具体例を使って見ていきましょう。

手順1: 分母にある根号と同じ数を分母と分子にそれぞれかける

例：$\frac{1}{\sqrt{2}}$ を有理化する

分母の根号は $\sqrt{2}$ ですね。そこで、分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} $$

手順2: 分母の根号を外す計算をする

分母は $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ となります。

$$ \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

これで有理化は完了です。

5. 具体的な例題で練習しよう！

いくつかのパターンを見ていきましょう。

例1: 分子がただの数の場合

$\frac{3}{\sqrt{5}}$ を有理化しましょう。

1. 分母の $\sqrt{5}$ をなくすために、分母と分子に $\sqrt{5}$ をかけます。

$$ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} $$

1. 分母を計算します。

$$ \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} $$

これで有理化は完了です。

例2: 分子にも根号がある場合

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ を有理化しましょう。

1. 分母の $\sqrt{7}$ をなくすために、分母と分子に $\sqrt{7}$ をかけます。

$$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} $$

1. 分母と分子を計算します。分子は $\sqrt{3} \times \sqrt{7} = \sqrt{21}$ です。

$$ \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} $$

これで有理化は完了です。

例3: 約分ができる場合

$\frac{6}{\sqrt{3}}$ を有理化しましょう。

1. 分母の $\sqrt{3}$ をなくすために、分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけます。

$$ \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} $$

1. 分母を計算します。

$$ \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} $$

1. ここで、分子の $6$ と分母の $3$ が約分できることに気づきましょう！

$$ \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $$

約分を忘れないように注意してください。

例4: 根号の中を簡単にしてから有理化する場合

$\frac{2}{\sqrt{8}}$ を有理化しましょう。

この場合、まず分母の $\sqrt{8}$ を簡単にすることができますね。

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

式は次のようになります。

$$ \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} $$

ここで、分子の $2$ と分母の $2$ が約分できるので、

$$ \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

あとは、この形を有理化すればOKです。

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

もちろん、最初に有理化してから簡単にすることもできますが、先に簡単にできる場合は、そうした方が計算が楽になることが多いです。

6. まとめ

分母の有理化のポイントをもう一度確認しましょう。

• 目的: 分母の根号をなくし、有理数にすること。
• 理由: 計算しやすくするため、数の大きさを把握しやすくするため、数学のルール。
• 基本の手順: 分母にある根号と同じ数を、分母と分子の両方にかける。
• 重要ポイント: 約分できる場合は、必ず約分すること。
• 応用: 根号の中を簡単にできる場合は、先に簡単にしてから有理化すると、計算が楽になることがある。

有理化は、この先の平方根の計算でたくさん出てくる基本的な操作です。何度も練習して、スムーズにできるようになりましょう！