文字式で数の規則を表すコツは？並び方から式を作る手順【中1数学】

等差の考え方で並んだ数の規則性を式にする手順を学びましょう。

1. 等差数列とは？

「等差」とは、「等しい差」のことです。つまり、隣り合う数の差がいつも同じになるように並んだ数の列を「等差数列」と呼びます。

例: 3, 5, 7, 9, ... （隣り合う数の差はいつも $+2$ ですね）

このような数の並びには、ある規則性があります。この規則性を文字を使った式で表せるようになると、例えば「100番目の数はいくつだろう？」といった問題を、実際に100個の数を書き出さなくても、すぐに計算で求めることができるようになります。

2. 規則性を式で表す手順

では、具体的な数列を例に、その規則性を式で表す手順を見ていきましょう。

例題: 次の数列の $n$ 番目の数を表す式を求めましょう。

3, 5, 7, 9, ...

手順1: 数が増える（または減る）量を見つける

まず、隣り合う数がどれだけ増えているか（または減っているか）を確認します。

• $5 - 3 = 2$
• $7 - 5 = 2$
• $9 - 7 = 2$

この数列では、数がいつも $2$ ずつ増えていますね。この「いつも同じ量」のことを「公差（こうさ）」と呼びます。

手順2: 「$n$ 番目の数」を「公差 $\times n$」で仮に表す

次に、手順1で見つけた公差を使って、$n$ 番目の数を「公差 $\times n$」という形で考えてみます。

この例では公差が $2$ なので、$2n$ となります。

ここで、「$n$」は数を数える順番（1番目、2番目、3番目…）を表す文字です。

• $n=1$ のとき、$2 \times 1 = 2$
• $n=2$ のとき、$2 \times 2 = 4$
• $n=3$ のとき、$2 \times 3 = 6$

手順3: 実際の数との「ずれ」を調整する

手順2で考えた $2n$ という式で、実際の数列の数と比べてみましょう。

• 1番目 ($n=1$)

* $2n$ の値: $2 \times 1 = 2$

* 実際の数列の数: $3$

* ずれ（実際の数 $-$ $2n$ の値）: $3 - 2 = 1$

• 2番目 ($n=2$)

* $2n$ の値: $2 \times 2 = 4$

* 実際の数列の数: $5$

* ずれ（実際の数 $-$ $2n$ の値）: $5 - 4 = 1$

• 3番目 ($n=3$)

* $2n$ の値: $2 \times 3 = 6$

* 実際の数列の数: $7$

* ずれ（実際の数 $-$ $2n$ の値）: $7 - 6 = 1$

どの番目の数でも、$2n$ の値より実際の数列の数が $1$ だけ大きいことがわかりますね。

この「ずれ」を調整するために、$2n$ に $1$ を足します。

手順4: 規則を表す式を完成させる

手順3で見つけた「ずれ」を考慮して、式を完成させます。

今回の例では、公差が $2$ で、常に $1$ だけ実際の数の方が大きいので、

$n$ 番目の数を表す式は $2n + 1$ となります。

確認:

• $n=1$ のとき: $2(1) + 1 = 3$ （正しい）
• $n=2$ のとき: $2(2) + 1 = 5$ （正しい）
• $n=3$ のとき: $2(3) + 1 = 7$ （正しい）

これで、どんな $n$ 番目の数でも、この式に $n$ の値を代入すれば求めることができます。

例えば、100番目の数は $2(100) + 1 = 201$ となります。

3. まとめ：規則性を式で表すためのステップ

等差数列の規則性を式で表すには、次の3つのステップを踏みましょう。

1. 公差を見つける: 隣り合う数の差がいくつかを調べます。これが $n$ にかけられる数になります。
2. 「公差 $\times n$」で仮の式を作る: 見つけた公差を $n$ にかけます。
3. ずれを調整する: 作った仮の式で $n=1$ のときの値を計算し、実際の1番目の数との差（ずれ）を見つけます。そのずれを仮の式に足したり引いたりして調整し、最終的な式を完成させます。

この手順をマスターすれば、いろいろな数列の規則性を式で表せるようになりますよ。頑張ってください！