条件付き確率と独立の判定、P(A∩B)＝P(A)P(B)で見抜くコツ【高3数学】

はじめに

確率の世界では、ある事象が起こったという情報が、別の事象が起こる確率に影響を与えることがあります。これが「条件付き確率」の考え方です。また、互いに影響を与えない事象もあり、これを「独立」と呼びます。

これらの概念を理解することは、複雑な確率問題を解く上で非常に重要です。

1. 条件付き確率とは

ある事象Aが起こったという条件のもとで、事象Bが起こる確率を「Aが起こったときのBの条件付き確率」といい、$P(B|A)$ で表します。

計算式:

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

ただし、$P(A) \neq 0$ とします。

$P(A \cap B)$ は、事象Aと事象Bがともに起こる確率（積事象の確率）です。

考え方:

条件付き確率は、全事象を事象Aが起こった場合に限定し、その中で事象Bが起こる割合を考えるものです。

例題1:

1から10までの数字が書かれたカードが1枚ずつあります。この中から1枚を引くとき、

(1) 引いたカードが偶数である確率を求めなさい。

(2) 引いたカードが偶数であったとき、それが4の倍数である確率を求めなさい。

解説:

(1) 全事象は10通り。偶数は2, 4, 6, 8, 10の5通りです。よって、$P(\text{偶数}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ です。

(2) 事象A: 引いたカードが偶数である。事象B: 引いたカードが4の倍数である。

• 事象Aが起こる場合の数は {2, 4, 6, 8, 10} の5通りです。
• 事象 $A \cap B$ (偶数かつ4の倍数) が起こる場合の数は {4, 8} の2通りです。

確率で表すと、$P(A) = \frac{5}{10}$、$P(A \cap B) = \frac{2}{10}$ となります。

よって、条件付き確率の計算式に当てはめると、

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2/10}{5/10} = \frac{2}{5}$$

となります。

別の考え方として、引いたカードが偶数であるという条件が与えられているので、考える対象は偶数である {2, 4, 6, 8, 10} の5枚に限定されます。この5枚の中で4の倍数であるのは {4, 8} の2枚なので、確率は $\frac{2}{5}$ となります。

2. 確率の乗法定理

条件付き確率の式を変形すると、積事象の確率を求める式が得られます。

定理:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$$

これは「事象Aが起こり、かつAが起こったという条件のもとで事象Bが起こる確率」を意味します。

例題2:

袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っています。この袋から玉を1個取り出し、それを元に戻さずに、続けてもう1個玉を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めなさい。

解説:

事象A: 1個目に赤玉を取り出す。事象B: 2個目に赤玉を取り出す。

• 1個目に赤玉を取り出す確率 $P(A) = \frac{3}{5}$ です。
• 1個目に赤玉を取り出した後、袋の中は赤玉2個、白玉2個になります。この条件のもとで2個目に赤玉を取り出す確率 $P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。

確率の乗法定理を用いると、2個とも赤玉である確率 $P(A \cap B)$ は、

$$P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$

となります。

3. 事象の独立

2つの事象AとBにおいて、一方の事象が起こることが他方の事象が起こる確率に影響を与えないとき、これらの事象は「独立である」といいます。

独立の条件:

事象AとBが独立であるのは、次のいずれかの条件を満たすときです。

1. $P(A \cap B) = P(A)P(B)$
2. $P(B|A) = P(B)$ （ただし、$P(A) \neq 0$ の場合）
3. $P(A|B) = P(A)$ （ただし、$P(B) \neq 0$ の場合）

考え方:

条件付き確率 $P(B|A)$ が、条件がない場合の確率 $P(B)$ と同じになる、ということが直感的に独立を意味します。つまり、「Aが起こったと知っても、Bの起こりやすさは変わらない」ということです。

例題3:

大小2つのサイコロを同時に投げるとき、

• 事象A: 大のサイコロの目が偶数である。
• 事象B: 小のサイコロの目が3の倍数である。
• 事象C: 目の和が7である。

(1) 事象Aと事象Bは独立であるか判定しなさい。

(2) 事象Aと事象Cは独立であるか判定しなさい。

解説:

大小2つのサイコロを同時に投げる場合の全事象は $6 \times 6 = 36$ 通りです。

まず、それぞれの事象の確率を求めます。

• $P(A)$: 大のサイコロの目が偶数 (2, 4, 6) なので、大のサイコロは3通り、小のサイコロは6通り。よって $3 \times 6 = 18$ 通り。$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$。
• $P(B)$: 小のサイコロの目が3の倍数 (3, 6) なので、大のサイコロは6通り、小のサイコロは2通り。よって $6 \times 2 = 12$ 通り。$P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$。
• $P(C)$: 目の和が7となるのは (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) の6通り。$P(C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。

(1) 事象Aと事象Bの独立性

• 事象 $A \cap B$: 大のサイコロの目が偶数かつ小のサイコロの目が3の倍数。大のサイコロは {2, 4, 6} の3通り、小のサイコロは {3, 6} の2通りなので、$3 \times 2 = 6$ 通りです。
• よって、$P(A \cap B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
• 一方、$P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。
• $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つので、事象Aと事象Bは独立であるといえます。

(2) 事象Aと事象Cの独立性

• 事象 $A \cap C$: 大のサイコロの目が偶数かつ目の和が7。目の和が7となる組のうち、大のサイコロが偶数なのは (2,5), (4,3), (6,1) の3通りです。
• よって、$P(A \cap C) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$。
• 一方、$P(A)P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$。
• $P(A \cap C) = P(A)P(C)$ が成り立つので、事象Aと事象Cは独立であるといえます。

まとめ

• 条件付き確率: ある事象が起こったという「条件」のもとで、別の事象が起こる確率です。

* $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

• 確率の乗法定理: 積事象の確率を求める際に使う定理です。

* $P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$

• 事象の独立: 2つの事象が互いに影響を与えないことです。

* $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つときに独立であるといえます。

* これは $P(B|A) = P(B)$ と同値です。