この単元のつまずきポイント
a³＋b³の展開後の中央の符号を『＋ab』にしてしまうミスが多発します。『外側の符号が同じなら中央は逆』というルールが定着せず、符号ミスで失点しがちです。
このテーマで実際に生成した教材
下の枠内が、まなびAIがこのテーマで実際に生成した教材です。読み解きにくい学習指導要領は、デジタル庁が推進する国産AI「源内」の一部である法令検索AI「Lawsy」の技術で検索・参照し、約30秒で出力されました。
3次式の因数分解にご興味をお持ちなのですね。素晴らしい探求心です！
高校の数学では、学習指導要領という指針に基づいて、段階的に内容を学んでいきます。3次式の因数分解は、主に高校2年生で学ぶ「数学II」の範囲に含まれています。高校1年生で学ぶ「数学I」では、2次式の因数分解の理解を深め、様々な問題に対応できるようになることが目標とされています。
しかし、因数分解の基本的な考え方は、次数に関わらず共通しています。まずは高校1年生でしっかりと身につけるべき、2次式の因数分解のポイントを確認しましょう。これが、将来3次式以上の因数分解に取り組む上での土台となります。
1. 因数分解の基本は「共通因数でくくる」
どんな式の因数分解でも、まずは共通因数がないかを探すのが最も重要です。共通因数とは、式の各項に共通してかけられている文字や数のことです。
例1: $3x^2 + 6x$
この式では、$3x$ が共通因数です。よって、次のように因数分解できます。
$$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$
2. 乗法公式の逆を利用する
次に、中学校でも学んだ乗法公式の逆を利用して因数分解する方法です。これらの公式は、高校数学でも頻繁に使われます。
公式1: 和の平方
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
例2: $x^2 + 6x + 9$
この式は、$x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2$ と考えられるので、公式を適用できます。
$$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$$
公式2: 差の平方
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
例3: $y^2 - 10y + 25$
この式は、$y^2 - 2 \times y \times 5 + 5^2$ と考えられるので、公式を適用できます。
$$y^2 - 10y + 25 = (y-5)^2$$
公式3: 和と差の積
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
例4: $4x^2 - 9$
この式は、$(2x)^2 - 3^2$ と考えられるので、公式を適用できます。
$$4x^2 - 9 = (2x+3)(2x-3)$$
公式4: $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$
この公式は、かけて $ab$、足して $(a+b)$ になる2つの数 $a, b$ を見つけることで因数分解できます。
例5: $x^2 + 5x + 6$
かけて $6$、足して $5$ になる2つの数は $2$ と $3$ です。
$$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$$
3. たすき掛けを利用する
高校数学で新しく学ぶ、2次式の因数分解の強力な方法が「たすき掛け」です。これは、$ax^2+bx+c$ の形の式を因数分解する際に特に有効です。
公式: $acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$
例6: $2x^2 + 7x + 3$
- $x^2$ の係数 $2$ を $A \times C$ に分解（例: $1 \times 2$）。
- 定数項 $3$ を $B \times D$ に分解（例: $1 \times 3$）。
- $A \times D + C \times B$ が $x$ の係数 $7$ になる組み合わせを探します。
$1 \times 3 = 3$
$2 \times 1 = 2$
$3 + 2 = 5$ (これは $7$ ではないので、組み合わせを変えます)
$1 \times 1 = 1$
$2 \times 3 = 6$
$1 + 6 = 7$ (これは $7$ です！)
この組み合わせから、次のように因数分解できます。
$$2x^2 + 7x + 3 = (x+3)(2x+1)$$
4. 3次式の因数分解の公式（数学IIで学ぶ内容）
3次式の因数分解には、以下の乗法公式の逆を利用します。これらは高校2年生の数学IIで詳しく学びますので、今は「こんな公式があるんだな」と知っておく程度で大丈夫です。これらの公式を使いこなすためには、まず上記で説明した2次式の因数分解の技術をしっかりと身につけることが重要です。
公式A: 和の立方
$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$
公式B: 差の立方
$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3$
公式C: 立方の和
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
公式D: 立方の差
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
まとめ
- 高校1年生の目標: 共通因数でくくる、乗法公式の逆を利用する、たすき掛けの3つの方法で2次式を因数分解できるようになること。
- 学習のステップ: まずは2次式の因数分解を徹底的にマスターし、様々なパターンに対応できるように練習しましょう。これが3次式以上の因数分解への確かな土台となります。
- 3次式の因数分解: 主に高校2年生の「数学II」で詳しく学びます。焦らず、段階的に力をつけていきましょう。
編集・参照情報
- 編集・運営: かわさき楽AIサポート（株式会社スマイルファクトリー）
- 作成方法: 学習指導要領データを検索し、AI生成教材を編集して掲載
- 参照範囲: 第４節 数 学 > 第１ 数学Ⅰ > ２ 内 容 > (1) 数と式 > ア 次のような知識及び技能を身に付けること。 > (ｳ) 二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深めること。
- 公開日: 2026年8月15日
この教材の使い方
保護者の方へ。本教材は「3次式の因数分解」に興味を持ったお子さまに向けて、まず高校1年で固めるべき2次式の因数分解の土台を丁寧に示す構成になっています。公式をいきなり暗記させるのではなく、共通因数でくくる感覚や、和の平方・差の平方の符号の対応をAIに図解してもらうと、定着が早まります。
塾講師の方は、生徒がa³±b³の公式に手を伸ばしたがる場面での橋渡し教材としてご活用ください。3次式は数学IIの範囲であることを共有したうえで、本教材の例1〜例3を音読させ、どの項が共通因数か、どこが2ab・b²に対応するかを口頭で説明させると理解の穴が見えます。
宿題の答え合わせに使う場合は、答えだけを照合するのではなく、途中式の「共通因数を抜き出した瞬間」と「公式に当てはめた瞬間」を指差しで確認してください。符号違いや平方の見落としに早く気づけ、3次式への発展学習にもスムーズにつながります。
よくある質問
3次式の因数分解は高校1年で習うのですか？
3次式の因数分解は主に高校2年の「数学II」で扱う内容です。高校1年の「数学I」では2次式の因数分解を確実に身につけることが目標とされていますので、学校の先生にご確認いただきつつ、まずは2次式の理解を優先されると安心です。
子どもがどこでつまずきやすいか教えてください。
最初に共通因数でくくる手順を飛ばしてしまう点と、乗法公式の逆（和の平方・差の平方・和と差の積）の形を見抜けない点でつまずきがちです。式のどの部分が $a$ と $b$ にあたるかを声に出して確認する練習が有効です。
家庭ではどのように学習を進めればよいでしょうか？
まず共通因数を探す、次に乗法公式の形に当てはまるか確認する、という順番を習慣化するのがおすすめです。先取りで3次式に進むかはご家庭の判断で構いませんが、2次式の反復で土台を固めてからの方が定着しやすいです。