三角比で0°〜180°の範囲指定問題、どの符号を選ぶ？一発判定【高1数学】

皆さんは三角比（サイン、コサイン、タンジェント）について、直角三角形を使って学んできましたね。でも、数学では角度が90°より大きい「鈍角」の場合でも三角比を考えることがあります。そして、問題によっては「角度の範囲」が指定されていることがあります。この範囲が、三角比の値を求めるときの重要なヒントになるんですよ。

1. 三角比の基本的な考え方をおさらいしよう

鋭角（0°より大きく90°より小さい角）の場合

直角三角形では、各辺の比で三角比を定義しました。

• $\sin\theta$ (サイン)： 対辺 / 斜辺
• $\cos\theta$ (コサイン)： 隣辺 / 斜辺
• $\tan\theta$ (タンジェント)： 対辺 / 隣辺

このとき、$\theta$ は鋭角なので、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値はすべて正（プラス）になります。

鈍角（90°より大きく180°より小さい角）まで拡張する場合

角度が鈍角のときは、直角三角形で考えることができません。そこで、「座標平面上の単位円」を使って三角比を定義し直します。

1. 原点を中心とする半径1の円（単位円）を考えます。
2. 原点Oを始点とし、x軸の正の向きを基準線とします。
3. 基準線から反時計回りに角度 $\theta$ だけ動かした線と単位円との交点をP$(x, y)$ とします。

このとき、三角比は次のように定義されます。

• $\sin\theta = y$ 座標
• $\cos\theta = x$ 座標
• **$\tan\theta = \frac{y}{x}$ （ただし、$x

e 0$）**

この定義を用いると、鈍角の場合の三角比も考えることができます。

鈍角の三角比の符号

• $\sin\theta$： y座標なので、0°から180°の範囲では常に正（プラス）です。（円の上半分に点が来るため）
• $\cos\theta$： x座標なので、90°から180°の範囲では負（マイナス）になります。（円の左半分に点が来るため）
• $\tan\theta$： $y/x$ なので、90°から180°の範囲では負（マイナス）になります。（$y$ が正、$x$ が負なので）

この符号の変化が、角度の範囲を考える上で非常に重要です。

2. 角度の範囲と相互関係式

三角比には、常に成り立つ大切な関係式があります。これらを「相互関係」と呼びます。

1. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

* これは、三平方の定理から導かれる最も基本的な関係式です。$\sin\theta$と$\cos\theta$のどちらか一方がわかれば、もう一方の値を求めることができます。

1. $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

* $\sin\theta$と$\cos\theta$がわかれば、$\tan\theta$を求めることができます。

さらに、鈍角の三角比を鋭角の三角比で表す関係式も重要です。

• $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$
• $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$
• $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$

これらの関係式と、角度の範囲による符号の変化を組み合わせることで、指定された条件から三角比の値を正確に求めることができます。

3. 具体的な問題に挑戦してみよう！

例題1：$\sin\theta$ の値が与えられた場合

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。

考え方：

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係式を使います。$\cos\theta$ の値は正と負の2つが出てくるので、角度の範囲によってどちらを選ぶか判断します。

解答：

1. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に $\sin\theta = \frac{3}{5}$ を代入します。

$$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1 $$

$$ \frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1 $$

$$ \cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $$

1. $\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$ となります。
2. ここで、問題文の角度の範囲 $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ を考えます。$\sin\theta = \frac{3}{5}$ は正の値なので、$\theta$ は鋭角（0°から90°）または鈍角（90°から180°）のどちらの可能性もあります。

* もし $\theta$ が鋭角ならば、$\cos\theta$ は正なので $\cos\theta = \frac{4}{5}$。

* もし $\theta$ が鈍角ならば、$\cos\theta$ は負なので $\cos\theta = -\frac{4}{5}$。

* この問題では、$\theta$ が鋭角か鈍角かが明示されていないため、両方の可能性を考慮する必要があります。通常、問題文で「$\theta$ は鈍角」などの指定があるはずです。もし指定がなければ、両方の可能性を答えるか、問題の意図を再確認する必要があります。

※もし問題が「$\theta$ は鈍角とする」と指定されていたら：

この場合、$\cos\theta$ は負になるので、$\cos\theta = -\frac{4}{5}$ となります。

1. 次に $\tan\theta$ を求めます。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を使います。

* $\theta$ が鋭角の場合：

$$ \tan\theta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} $$

* $\theta$ が鈍角の場合（$\cos\theta = -\frac{4}{5}$ のとき）：

$$ \tan\theta = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} $$

答え：

• $\theta$ が鋭角のとき：$\cos\theta = \frac{4}{5}$, $\tan\theta = \frac{3}{4}$
• $\theta$ が鈍角のとき：$\cos\theta = -\frac{4}{5}$, $\tan\theta = -\frac{3}{4}$

例題2：$\cos\theta$ の値が与えられた場合

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ で、$\cos\theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めなさい。

考え方：

角度の範囲が $90^\circ < \theta < 180^\circ$ と指定されているので、$\theta$ は鈍角です。鈍角の場合、$\sin\theta$ は正、$\cos\theta$ は負、$\tan\theta$ は負になることを意識して解きます。

解答：

1. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に $\cos\theta = -\frac{1}{3}$ を代入します。

$$ \sin^2\theta + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 $$

$$ \sin^2\theta + \frac{1}{9} = 1 $$

$$ \sin^2\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $$

1. $\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$ となります。
2. ここで、角度の範囲が $90^\circ < \theta < 180^\circ$（鈍角）なので、$\sin\theta$ は正になります。したがって、$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
3. 次に $\tan\theta$ を求めます。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を使います。

$$ \tan\theta = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \left(-\frac{3}{1}\right) = -2\sqrt{2} $$

答え：$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan\theta = -2\sqrt{2}$

例題3：$\tan\theta$ の値が与えられた場合

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ で、$\tan\theta = -2$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めなさい。

考え方：

$\tan\theta$ が与えられた場合、相互関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ と $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を組み合わせて使います。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ から $\sin\theta = \tan\theta \cos\theta$ と変形し、これを最初の式に代入すると良いでしょう。この問題でも、$\theta$ は鈍角なので、$\sin\theta$ は正、$\cos\theta$ は負になることを意識します。

解答：

1. $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より、$\sin\theta = \tan\theta \cos\theta$ です。$\tan\theta = -2$ を代入すると、$\sin\theta = -2\cos\theta$ となります。
2. これを $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入します。

$$ (-2\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1 $$

$$ 4\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

$$ 5\cos^2\theta = 1 $$

$$ \cos^2\theta = \frac{1}{5} $$

1. $\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$ となります。
2. 角度の範囲が $90^\circ < \theta < 180^\circ$（鈍角）なので、$\cos\theta$ は負になります。したがって、$\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$。
3. $\sin\theta = -2\cos\theta$ を使って $\sin\theta$ を求めます。

$$ \sin\theta = -2 \times \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5} $$

答え：$\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\sin\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

4. 学習のポイントまとめ

• 角度の範囲を必ず確認する！

* $\theta$ が鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）か、鈍角（$90^\circ < \theta < 180^\circ$）かによって、三角比の符号が変わります。

* 特に、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ は鈍角で負になることを忘れないでください。

* $\sin\theta$ は $0^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲では常に正です。

• 相互関係式を使いこなす！

* $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

* $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

* これらの式を使って、与えられた一つの三角比から他の三角比を導き出します。

• 単位円をイメージする！

* 単位円を描いて、角度 $\theta$ の動径がどの象限にあるかを視覚的に捉えると、各三角比の符号が理解しやすくなります。

これらのポイントを押さえることで、角度の範囲が指定された三角比の問題も自信を持って解けるようになりますよ。