余弦定理と正弦定理、どっちを使う？一発で見分ける手順【高1数学】

はじめに

三角形の辺の長さや角の大きさを求めるときに、正弦定理と余弦定理という2つの重要な定理を使います。どちらの定理も非常に役立ちますが、「いつどちらを使えばいいのか」と迷うことがあるかもしれませんね。

この教材では、正弦定理と余弦定理のそれぞれの特徴を理解し、どのような状況でどちらの定理を使うべきか、その使い分けのポイントを具体例を交えて解説します。

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1. 正弦定理（いつ使う？）

正弦定理は、三角形の「辺」とその「対角（向かい合う角）」の間に成り立つ関係を示す定理です。

公式:

三角形ABCにおいて、a, b, c をそれぞれの対辺の長さ、A, B, C をそれぞれの角の大きさ、R を三角形の外接円の半径とすると、以下の関係が成り立ちます。

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$

正弦定理を使う状況:

正弦定理は、主に以下の2つのパターンで活用します。

1. 「2つの角と1つの辺」がわかっている場合

* 残りの辺の長さを求めるとき。

* 例: 角A, 角B, 辺a がわかっているときに、辺b を求めたい場合。

1. 「2つの辺と、そのうち1つの辺に対する角」がわかっている場合

* 残りの角の大きさを求めるとき。

* この場合、解が2つになる（鈍角と鋭角）可能性があることに注意が必要です（いわゆる「SSAのケース」）。

* 例: 辺a, 辺b, 角A がわかっているときに、角B を求めたい場合。

1. 外接円の半径Rを求めたい、またはRがわかっている場合

* 辺と対角のペアが一つでもわかればRを求めることができます。

例題1: 正弦定理を使ってみよう

三角形ABCにおいて、A = $45^\circ$、B = $60^\circ$、a = 10 のとき、辺b の長さを求めなさい。

答え: $b = 5\sqrt{6}$

解説:

この問題では、「2つの角（AとB）と1つの辺（a）」がわかっています。辺a の対角はA、辺b の対角はB です。したがって、正弦定理の $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ の部分を使えば辺b を求めることができます。

$ \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} $

$ \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

$ 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = b \times \frac{2}{\sqrt{3}} $

$ \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} $

$ 20\sqrt{3} = 2b\sqrt{2} $

$ b = \frac{20\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6} $

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2. 余弦定理（いつ使う？）

余弦定理は、三角形の「3つの辺」と「1つの角」の間に成り立つ関係を示す定理です。三平方の定理の拡張と考えることもできます。

公式:

三角形ABCにおいて、a, b, c をそれぞれの対辺の長さ、A, B, C をそれぞれの角の大きさとする。

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$

$$ b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B $$

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$

また、角の大きさを求めたい場合は、上記の式を変形して以下のように使います。

$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$

$$ \cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} $$

$$ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} $$

余弦定理を使う状況:

余弦定理は、主に以下の2つのパターンで活用します。

1. 「2つの辺とその間の角（挟む角）」がわかっている場合

* 残りの1辺の長さを求めるとき。

* 例: 辺b, 辺c, 角A (bとcの間の角) がわかっているときに、辺a を求めたい場合。

1. 「3つの辺」がわかっている場合

* いずれかの角の大きさを求めるとき。

* 例: 辺a, 辺b, 辺c がわかっているときに、角A, 角B, または角C を求めたい場合。

例題2: 余弦定理を使ってみよう（辺の長さを求める）

三角形ABCにおいて、a = 5、b = 7、C = $60^\circ$ のとき、辺c の長さを求めなさい。

答え: $c = \sqrt{39}$

解説:

この問題では、「2つの辺（aとb）とその間の角（C）」がわかっています。このパターンは余弦定理の出番です。辺c を求める公式 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ を使います。

$ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ $

$ c^2 = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} $

$ c^2 = 74 - 35 $

$ c^2 = 39 $

$ c = \sqrt{39} $ （$c > 0$ より）

例題3: 余弦定理を使ってみよう（角の大きさを求める）

三角形ABCにおいて、a = 3、b = 5、c = 7 のとき、角C の大きさを求めなさい。

答え: C = $120^\circ$

解説:

この問題では、「3つの辺（a, b, c）の長さ」がすべてわかっています。このパターンも余弦定理の出番です。角C を求める公式 $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ を使います。

$ \cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5} $

$ \cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30} $

$ \cos C = \frac{34 - 49}{30} $

$ \cos C = \frac{-15}{30} $

$ \cos C = -\frac{1}{2} $

$ \cos C = -\frac{1}{2} $ となる角Cは、$0^\circ < C < 180^\circ$ の範囲で C = $120^\circ$ です。

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3. 正弦定理と余弦定理の使い分けのポイント

ここまでで見てきたように、正弦定理と余弦定理はそれぞれ得意な状況が異なります。どちらを使うべきか迷ったときは、以下のポイントを参考にしてください。

• 正弦定理を使うのはこんなとき！

* 「辺と対角のペア」がわかっている、または求めたい場合

* 例: 辺aと角A、または辺bと角Bのように、向かい合う辺と角のセットがわかっている（あるいはどちらか片方を求めたい）状況。

* わかっている情報に「2つの角」が含まれている場合

* 三角形の内角の和が $180^\circ$ であることを利用すれば、3つ目の角もわかります。つまり、すべての角がわかっている状態になります。

• 余弦定理を使うのはこんなとき！

* 「2つの辺とその間の角」がわかっている場合

* 残りの1辺の長さを求めるときに使います。

* 「3つの辺」の長さがすべてわかっている場合

* いずれかの角の大きさを求めるときに使います。

使い分けの思考プロセス

1. 問題の図を見て、わかっている情報（辺の長さ、角の大きさ）を整理する。
2. 「辺と対角のペア」がすでに2組以上わかっている、または1組と、もう1つの角がわかっていれば、正弦定理を検討する。

* （例: A, B, a がわかっている → b を求める）

1. 「2つの辺とその間の角」がわかっている、または「3つの辺」すべてがわかっている場合は、余弦定理を検討する。

* （例: a, b, C がわかっている → c を求める）

* （例: a, b, c がわかっている → A, B, C のいずれかの角を求める）

多くの場合、問題で与えられた情報を見れば、どちらの定理を使うべきか判断できます。

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まとめ

正弦定理と余弦定理は、三角形の未知の辺や角を求めるための強力なツールです。

• 正弦定理: 「辺と対角のペア」が揃っているときに有効。特に「2つの角」がわかっている場合に活躍します。
• 余弦定理: 「2つの辺と挟む角」または「3つの辺」がわかっているときに有効。三平方の定理の一般化と考えると理解しやすいでしょう。

これらの使い分けをマスターすることで、様々な三角形の計量問題をスムーズに解くことができるようになります。たくさん問題を解いて、定理の適用パターンを感覚でつかんでいきましょう。