三角比15度75度の値はどう出す？加法定理を使う手順【高1数学】

高校1年生の皆さん、こんにちは！

三角比の学習、順調に進んでいますか？ $30°$, $45°$, $60°$, $90°$といった角度の三角比は、特別な直角三角形を思い浮かべればすぐに求められますよね。

ところが、「$15°$や$75°$の値はどうやって出すんですか？公式が載っていないので困っています。」という質問をよく耳にします。確かに、これらの角度は皆さんが普段使っている特別な直角三角形（$30°-60°-90°$の直角三角形や$45°-45°-90°$の直角二等辺三角形）からは直接導き出せません。

でも安心してください！実は、これらの値を求めるための「公式」はちゃんと存在します。この公式は、通常高校2年生で学ぶ『数学Ⅱ』の範囲で登場する「加法定理」というものです。しかし、皆さんの疑問を解決するために、ここで特別に紹介し、その使い方を一緒に見ていきましょう。

角度を「足し算・引き算」で考える

$15°$や$75°$という角度は、皆さんが知っている角度の「足し算」や「引き算」で表現できます。

• $15° = 45° - 30°$
• $75° = 45° + 30°$

このように、よく知っている角度の組み合わせで考えるのがポイントです。

加法定理を使ってみよう

加法定理とは、2つの角度の和や差の三角関数を、それぞれの角度の三角関数で表す公式です。まずは、サイン（sin）とコサイン（cos）の加法定理を見てみましょう。

サインの加法定理

$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $$

$$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $$

コサインの加法定理

$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $$

$$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $$

これらの公式を使って、$15°$と$75°$の三角比を計算してみましょう。

具体的な計算例

知っている角度の三角比は以下の通りです。

• $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin 30° = \frac{1}{2}$
• $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$15°$の三角比

$\sin 15°$の計算

$\sin 15° = \sin(45° - 30°)$ と考えます。サインの加法定理（引き算の公式）を使います。

$$ \sin(45° - 30°) = \sin 45° \cos 30° - \cos 45° \sin 30° $$

$$ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$

解説: $45°$と$30°$の値を公式に当てはめるだけで、複雑に見える$15°$のサインの値が求められます。

$\cos 15°$の計算

$\cos 15° = \cos(45° - 30°)$ と考えます。コサインの加法定理（引き算の公式）を使います。

$$ \cos(45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30° $$

$$ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

解説: コサインの引き算の公式は、真ん中が「＋」になることに注意しましょう。

$75°$の三角比

$\sin 75°$の計算

$\sin 75° = \sin(45° + 30°)$ と考えます。サインの加法定理（足し算の公式）を使います。

$$ \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° $$

$$ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

解説: これは$\cos 15°$と同じ値になりましたね。$\sin(90° - \theta) = \cos \theta$ の関係が成り立っていることを確認できます。

$\cos 75°$の計算

$\cos 75° = \cos(45° + 30°)$ と考えます。コサインの加法定理（足し算の公式）を使います。

$$ \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° $$

$$ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$

解説: これは$\sin 15°$と同じ値になりました。こちらも$\cos(90° - \theta) = \sin \theta$ の関係が成り立っています。

タンジェント（tan）について

タンジェントは、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を使って求めることができます。

例えば、$\tan 15° = \frac{\sin 15°}{\cos 15°} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ となります。

分母の有理化を行うと、

$$ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} $$

$$ = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3} $$

解説: タンジェントの加法定理もありますが、サインとコサインの値が分かれば計算できるので、まずはサインとコサインの加法定理をしっかり理解することが大切です。

まとめ

$15°$や$75°$といった特殊な角度の三角比は、そのままでは求めにくいですが、「加法定理」を使うことで、皆さんが知っている角度の組み合わせから導き出すことができます。

• $15° = 45° - 30°$
• $75° = 45° + 30°$

加法定理は高校2年生で本格的に学習しますが、このように「なぜ？」という疑問を解決するために、今のうちに知っておくことはとても良いことです。数学は、学年が上がると新しい知識を学びますが、それらはすべてこれまでに学んだことの「つながり」でできています。今回の内容が、皆さんの数学学習の視野を広げるきっかけになれば嬉しいです。