相似比a:bなら面積比・体積比は？2乗3乗ルールの使い分け【中3数学】

相似な図形について学習する中で、「相似比」「面積比」「体積比」という3つの比が出てきて、どれをいつ使えばいいのか迷うことはありませんか？

この教材では、それぞれの比が何を表し、どのような場面で使うのかを明確に解説し、実践問題を通して理解を深めていきましょう。

はじめに：相似な図形とは

まず、相似な図形とは、形は同じで大きさが異なる図形のことです。一方の図形を拡大または縮小すると、もう一方の図形にぴったり重ね合わせることができます。

相似な図形では、対応する辺の長さの比はすべて等しく、対応する角の大きさもそれぞれ等しくなります。

1. 相似比（長さの比）

相似比は、相似な図形の対応する辺の長さの比のことです。最も基本的な比であり、通常 $a:b$ の形で表されます。

• いつ使うか: 長さ（辺の長さ、高さ、半径、周の長さなど）を求めるときに使います。
• 例: 相似な2つの三角形の対応する辺の長さがそれぞれ3cmと6cmであれば、相似比は $3:6 = 1:2$ となります。

2. 面積比

相似な図形の面積比は、相似比が $a:b$ であるとき、$a^2:b^2$ となります。

• なぜそうなるのか: 例えば、相似比が $1:2$ の2つの正方形を考えてみましょう。小さい正方形の1辺の長さを1とすると、大きい正方形の1辺の長さは2です。面積はそれぞれ $1 \times 1 = 1$ と $2 \times 2 = 4$ となり、面積比は $1:4$ ($1^2:2^2$) となります。これは、縦方向も横方向も相似比の分だけ拡大されるためです。
• いつ使うか: 平面図形全体の面積や、立体の表面積（側面積、底面積、全体の表面積）を求めるときに使います。

3. 体積比

相似な立体の体積比は、相似比が $a:b$ であるとき、$a^3:b^3$ となります。

• なぜそうなるのか: 例えば、相似比が $1:2$ の2つの立方体を考えてみましょう。小さい立方体の1辺の長さを1とすると、大きい立方体の1辺の長さは2です。体積はそれぞれ $1 \times 1 \times 1 = 1$ と $2 \times 2 \times 2 = 8$ となり、体積比は $1:8$ ($1^3:2^3$) となります。これは、縦方向、横方向、高さ方向の3方向すべてが相似比の分だけ拡大されるためです。
• いつ使うか: 立体図形全体の体積を求めるときに使います。

使い分けのポイントまとめ

• 相似比 $a:b$: 長さに関する計算（辺の長さ、高さ、半径、周の長さなど）
• 面積比 $a^2:b^2$: 面積に関する計算（平面図形の面積、立体の表面積など）
• 体積比 $a^3:b^3$: 体積に関する計算（立体の体積）

常に、まずは相似比を求め、そこから必要に応じて面積比や体積比に変換するという流れを意識しましょう。

実践問題

問1

2つの相似な三角形ABCとDEFがあります。相似比は $2:3$ です。

三角形ABCの辺ABの長さが6cmのとき、三角形DEFの対応する辺DEの長さを求めなさい。

問2

2つの相似な円Aと円Bがあります。円Aの半径が4cm、円Bの半径が6cmです。

円Aの面積が$16\text{π cm}^2$のとき、円Bの面積を求めなさい。

問3

2つの相似な円錐Pと円錐Qがあります。円錐Pの高さが5cm、円錐Qの高さが10cmです。

円錐Pの体積が$25\text{π cm}^3$のとき、円錐Qの体積を求めなさい。

問4

ある図形Aと図形Bは相似です。図形Aの面積が$12\text{cm}^2$、図形Bの面積が$48\text{cm}^2$です。

もし図形Aの体積が$20\text{cm}^3$であるとき、図形Bの体積を求めなさい。

解答と解説

問1

答え: 9cm

解説:

相似な図形の対応する辺の長さの比は相似比に等しいです。

三角形ABCとDEFの相似比は $2:3$ です。

AB : DE = $2:3$

$6 : \text{DE} = 2:3$

$2 \times \text{DE} = 6 \times 3$

$2 \times \text{DE} = 18$

$\text{DE} = 9$

よって、DEの長さは9cmです。

採点ポイント:

• 相似比を使って比例式を立てられているか（3点）
• 正しく計算し、答えを導き出せているか（2点）

問2

答え: $36\text{π cm}^2$

解説:

まず、円Aと円Bの相似比を求めます。

半径の比が相似比になるので、相似比は $4:6 = 2:3$ です。

面積比は相似比の2乗になるので、$2^2:3^2 = 4:9$ です。

円Aの面積 : 円Bの面積 = $4:9$

$16\text{π} : \text{円Bの面積} = 4:9$

$4 \times \text{円Bの面積} = 16\text{π} \times 9$

$4 \times \text{円Bの面積} = 144\text{π}$

$\text{円Bの面積} = 36\text{π}$

よって、円Bの面積は$36\text{π cm}^2$です。

採点ポイント:

• 相似比を正しく求められているか（2点）
• 面積比を相似比から正しく変換できているか（3点）
• 比例式を立てて正しく計算し、答えを導き出せているか（3点）

問3

答え: $200\text{π cm}^3$

解説:

まず、円錐Pと円錐Qの相似比を求めます。

高さの比が相似比になるので、相似比は $5:10 = 1:2$ です。

体積比は相似比の3乗になるので、$1^3:2^3 = 1:8$ です。

円錐Pの体積 : 円錐Qの体積 = $1:8$

$25\text{π} : \text{円錐Qの体積} = 1:8$

$1 \times \text{円錐Qの体積} = 25\text{π} \times 8$

$\text{円錐Qの体積} = 200\text{π}$

よって、円錐Qの体積は$200\text{π cm}^3$です。

採点ポイント:

• 相似比を正しく求められているか（2点）
• 体積比を相似比から正しく変換できているか（3点）
• 比例式を立てて正しく計算し、答えを導き出せているか（3点）

問4

答え: $160\text{cm}^3$

解説:

この問題では、まず面積比から相似比を求め、次に相似比から体積比を求めて体積を計算します。

1. 面積比を求める:

図形Aの面積 : 図形Bの面積 = $12:48 = 1:4$

1. 相似比を求める:

面積比が $a^2:b^2 = 1:4$ なので、相似比 $a:b$ は $\text{√}1 : \text{√}4 = 1:2$ です。

1. 体積比を求める:

相似比が $1:2$ なので、体積比は $1^3:2^3 = 1:8$ です。

1. 図形Bの体積を計算する:

図形Aの体積 : 図形Bの体積 = $1:8$

$20 : \text{図形Bの体積} = 1:8$

$1 \times \text{図形Bの体積} = 20 \times 8$

$\text{図形Bの体積} = 160$

よって、図形Bの体積は$160\text{cm}^3$です。

採点ポイント:

• 面積比を正しく求められているか（2点）
• 面積比から相似比を正しく求められているか（3点）
• 相似比から体積比を正しく変換できているか（3点）
• 比例式を立てて正しく計算し、答えを導き出せているか（2点）

関連単元へのつながり

相似な図形の概念は、中学数学の図形分野において非常に重要です。今回学んだ相似比、面積比、体積比の関係は、単に計算問題を解くだけでなく、日常生活や他の学問分野にも広く応用されています。

• 縮図や拡大図: 地図や建築模型、製品の設計図などは、実際の対象物と相似な関係にあります。これらの縮尺は相似比そのものです。
• 間接的な測定: 直接測ることが難しいものの長さ（例: 木の高さ、建物の高さ）を、相似な三角形の性質を利用して求めることができます。
• 科学技術: 物理学や工学の分野では、相似則（スケール則）が、小さな模型を使った実験結果を実際の大きな構造物に応用する際に用いられます。

この単元で培った論理的な思考力や比例の考え方は、今後の数学学習だけでなく、様々な問題解決に役立つ基礎となります。しっかりと理解を深めていきましょう。