連立方程式は代入法と加減法どっち？式を見て一発判定【中2数学】

連立方程式を解くとき、「代入法」と「加減法」という2つの主要な方法がありますね。どちらの方法も連立方程式を解くために使えますが、問題の形によって「こっちの方が解きやすい！」という選び方があります。効率よく問題を解くために、それぞれの方法の特徴と、どんなときに使うのが便利かを見ていきましょう。

1. 連立方程式を解くとは？

連立方程式とは、2つ以上の式を組み合わせて、共通する文字（$x$ や $y$ など）の値を求めるものです。例えば、

$$ \begin{cases} x + y = 7 \quad \cdots \text{①} \\ x - y = 3 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

のような形の方程式です。この $x$ と $y$ の両方を満たす組み合わせを見つけるのが目標です。

2. 代入法とは？

代入法は、一方の式を「$y = ...$」や「$x = ...$」の形にして、それをもう一方の式に「代わりに入れる（代入する）」ことで、文字を一つ消去する方法です。

代入法が便利な場合

• すでに「$y = ...$」や「$x = ...$」の形になっている式があるとき
• いずれかの文字の係数が $1$ または $-1$ のとき（例：$x + 2y = 5$ の $x$ の係数）

代入法を使った例題

$$ \begin{cases} y = 2x + 1 \quad \cdots \text{①} \\ 3x + y = 11 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

解き方

1. ①の式を②の式に代入する: ①の式はすでに $y$ が $2x + 1$ と表されています。これを②の $y$ の部分にそのまま入れます。

$3x + (2x + 1) = 11$

1. $x$ についての一元一次方程式を解く: 文字が $x$ だけの方程式になりました。

$3x + 2x + 1 = 11$

$5x + 1 = 11$

$5x = 11 - 1$

$5x = 10$

$x = 2$

1. 求めた $x$ の値をどちらかの式に代入して $y$ を求める: $x=2$ を①の式に代入するのが簡単です。

$y = 2 \times 2 + 1$

$y = 4 + 1$

$y = 5$

解答: $x = 2, y = 5$

3. 加減法とは？

加減法は、2つの式を「足したり（加法）」、「引いたり（減法）」することで、一方の文字を消去する方法です。

加減法が便利な場合

• 両方の式が $Ax + By = C$ の形になっているとき
• どちらかの文字の係数の絶対値が同じか、簡単に揃えられるとき

加減法を使った例題

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \quad \cdots \text{①} \\ 4x - 3y = 5 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

解き方

1. 消したい文字の係数をそろえる: この例では、$y$ の係数が$+3$と$-3$で、絶対値が同じです。符号が異なるので、足し算をすると $y$ が消えます。
2. 2つの式を足し算または引き算する: ①と②の式を足します。

$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$

$2x + 3y + 4x - 3y = 12$

$6x = 12$

1. $x$ についての一元一次方程式を解く:

$x = 2$

1. 求めた $x$ の値をどちらかの式に代入して $y$ を求める: $x=2$ を①の式に代入します。

$2 \times 2 + 3y = 7$

$4 + 3y = 7$

$3y = 7 - 4$

$3y = 3$

$y = 1$

解答: $x = 2, y = 1$

加減法（係数をそろえる必要がある場合）の例題

$$ \begin{cases} 2x + y = 8 \quad \cdots \text{①} \\ x + 3y = 9 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

解き方

1. 消したい文字の係数をそろえる: この場合、$y$ を消すために①の式を3倍します。

① $\times 3$: $6x + 3y = 24 \quad \cdots \text{③}$

1. 2つの式を引き算する: ③から②を引きます。

$(6x + 3y) - (x + 3y) = 24 - 9$

$6x + 3y - x - 3y = 15$

$5x = 15$

1. $x$ についての一元一次方程式を解く:

$x = 3$

1. 求めた $x$ の値をどちらかの式に代入して $y$ を求める: $x=3$ を①の式に代入します。

$2 \times 3 + y = 8$

$6 + y = 8$

$y = 8 - 6$

$y = 2$

解答: $x = 3, y = 2$

4. 代入法と加減法、どっちを使えばいい？

結局、どちらの方法を使えばいいのか、迷ってしまうことがありますね。基本的にはどちらを使っても解けますが、より効率的に解ける方法を選ぶことが大切です。

使い分けのポイント

• 代入法がおすすめのケース

* 式の中に「$y = 2x + 1$」のように、すでに「（文字）＝（式）」の形になっているものがある場合。

* または、「$x + 2y = 5$」のように、係数が $1$ や $-1$ の文字がある場合。この場合、$x = 5 - 2y$ のように簡単に変形できるため、代入法がスムーズです。

• 加減法がおすすめのケース

* 「$2x + 3y = 7$」のような $Ax + By = C$ の形が2つ並んでいる場合。

* 特に、どちらかの文字の係数の絶対値が同じ、または簡単に整数倍するだけで揃えられる場合。

どちらでも解ける場合

例えば、

$$ \begin{cases} x + y = 7 \quad \cdots \text{①} \\ x - y = 3 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

のような場合は、

• 加減法：①と②を足すと $2x = 10$ で $x$ がすぐ出ます。
• 代入法：①を $y = 7 - x$ と変形して②に代入することもできます。

このように、どちらの方法でも簡単に解ける問題もあります。大切なのは、問題の形を見て「どの方法が一番手間がかからないか」を判断する力です。たくさんの問題を解いていくうちに、自然と適切な方法を選べるようになりますよ。

まとめ

• 代入法: 一方の式を「（文字）＝（式）」の形に変形し、もう一方の式に代入して文字を消す方法。
• 加減法: 2つの式を足したり引いたりして、一方の文字を消す方法。
• 使い分け: 問題の形を見て、より計算が楽になる方法を選ぶのがコツ。係数が $1$ や $-1$ の文字があれば代入法、$Ax + By = C$ の形が並んでいて係数を合わせやすいなら加減法がおすすめです。

どちらの方法も、最終的には一元一次方程式（文字が一つだけの方程式）にすることを目指しています。色々な問題を解いて、自分にとって一番効率の良い解き方を見つけていきましょう！