連立方程式の速さの文章題はどっちを文字にする？式2本の立て方の手順【中2数学】

連立方程式の文章問題、特に「速さ」に関する問題は、多くの人が苦手意識を持つ分野です。しかし、正しい手順で式を立てることができれば、必ず解けるようになります。ここでは、入試問題にもつながる応用力を身につけるために、速さの文章問題で連立方程式の式を2つ立てるための具体的な手順と、その考え方を解説します。

速さ・距離・時間の関係の確認

速さに関する問題では、以下の関係が基本となります。

• 距離 = 速さ × 時間
• 速さ = 距離 ÷ 時間
• 時間 = 距離 ÷ 速さ

この3つの関係をしっかり理解しておくことが、式を立てる上で非常に重要です。

連立方程式の式を立てる手順

速さの文章問題で連立方程式を立てるには、以下のステップを踏むと良いでしょう。

1. 求めるものを文字で置く: 問題文で「何を求めたいか」を明確にし、それを $x$ や $y$ などの文字で表します。速さの問題では、速さ、時間、距離のいずれか2つを文字で置くことが多いです。
2. 2つの「等しい関係」を見つける: 問題文の中に、2つの異なる「等しい関係」や「合計」「差」などの条件が隠されています。これが、2つの式を作るためのヒントになります。

* 例1: 「行きと帰りの合計距離が〇km」

* 例2: 「A地点からB地点までの時間と、B地点からC地点までの時間の合計が〇時間」

* 例3: 「行きにかかった時間と帰りにかかった時間の差が〇分」

1. それぞれの関係から式を作る: 見つけた2つの「等しい関係」それぞれについて、文字を使って式を立てます。このとき、「距離」「速さ」「時間」のどの関係を使うかを意識しましょう。
2. 単位を統一する: 速さの単位（km/時、m/分など）と、時間の単位（時間、分、秒）が問題文中で混在している場合は、計算する前に必ず統一しましょう。例えば、分を時間に直す場合は「分 ÷ 60」です。

例題で実践！式を立てる手順

問1

Aさんは家から12km離れた図書館へ行きました。家から途中のP地点までは自転車で行き、P地点から図書館までは自転車を置いて歩きました。自転車の速さは時速15km、歩く速さは時速4kmです。家から図書館までにかかった時間は合計で1時間10分でした。家からP地点までの距離と、P地点から図書館までの距離をそれぞれ求めなさい。

式を立てる手順の解説:

1. 求めるものを文字で置く:

* 家からP地点までの距離を $x$ km

* P地点から図書館までの距離を $y$ km

とします。

1. 2つの「等しい関係」を見つける:

この問題には、2つの「合計」に関する情報があります。

* 「家から図書館までの合計距離が12km」

* 「家から図書館までにかかった時間の合計が1時間10分」

1. それぞれの関係から式を作る:

* 1つ目の関係（距離の合計）:

家からP地点までの距離 $x$ と、P地点から図書館までの距離 $y$ を合わせると、合計距離の12kmになります。

よって、1つ目の式は:

$x + y = 12$ ...①

* 2つ目の関係（時間の合計）:

「時間 = 距離 ÷ 速さ」の関係を使います。

* 家からP地点まで自転車でかかった時間: $x / 15$ 時間

* P地点から図書館まで歩いてかかった時間: $y / 4$ 時間

合計時間が1時間10分ですが、単位を「時間」に統一します。

1時間10分 = 1時間 + 10/60 時間 = 1時間 + 1/6 時間 = 7/6 時間

よって、2つ目の式は:

$x/15 + y/4 = 7/6$ ...②

連立方程式:

$$\begin{cases} x + y = 12 \ x/15 + y/4 = 7/6 \end{cases}$$

連立方程式を解く:

②の式を整理します。両辺に60をかけると（15, 4, 6の最小公倍数）：

$4x + 15y = 70$ ...②'

①の式から $y = 12 - x$ を②'に代入します。

$4x + 15(12 - x) = 70$

$4x + 180 - 15x = 70$

$-11x = 70 - 180$

$-11x = -110$

$x = 10$

$y = 12 - x = 12 - 10 = 2$

答え:

家からP地点までの距離は10km、P地点から図書館までの距離は2km。

解説:

この問題では、合計距離と合計時間の2つの情報から式を立てました。特に時間の式を立てる際には、「時間 = 距離 ÷ 速さ」の公式を使い、単位を統一することが重要です。分数を含む式は、分母の最小公倍数をかけて整数に直すと計算しやすくなります。

採点ポイント:

• 未知数を適切に設定できているか（$x, y$ がそれぞれ何を表すか）。
• 距離に関する式 ($x+y=12$) を正しく立てられているか。
• 時間に関する式 ($x/15 + y/4 = 7/6$) を正しく立てられているか。特に、時間の単位換算（1時間10分を7/6時間）ができているか。
• 連立方程式を正しく解き、最終的な答えを導き出せているか。

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問2

A地点とB地点は18km離れています。太郎君はA地点からB地点へ向かって自転車で出発し、花子さんは太郎君が出発してから30分後にB地点からA地点へ向かって自転車で出発しました。太郎君の速さは時速12km、花子さんの速さは時速10kmです。2人が出会うのは、太郎君がA地点を出発してから何時間後ですか。また、A地点から何kmの地点ですか。

式を立てる手順の解説:

1. 求めるものを文字で置く:

* 太郎君がA地点を出発してから出会うまでの時間を $x$ 時間

* 花子さんがB地点を出発してから出会うまでの時間を $y$ 時間

とします。

1. 2つの「等しい関係」を見つける:

* 「2人の進んだ距離の合計が18km」

* 「2人の時間の関係（太郎君の方が30分長く進んでいる）」

1. それぞれの関係から式を作る:

* 1つ目の関係（距離の合計）:

「距離 = 速さ × 時間」の関係を使います。

* 太郎君が進んだ距離: $12x$ km

* 花子さんが進んだ距離: $10y$ km

2人の進んだ距離の合計が18kmなので:

$12x + 10y = 18$ ...①

* 2つ目の関係（時間の関係）:

太郎君は花子さんより30分早く出発しています。つまり、太郎君の進んだ時間 $x$ は、花子さんの進んだ時間 $y$ よりも30分長いということです。

30分を「時間」に直すと $30/60 = 1/2$ 時間です。

よって、2つ目の式は:

$x = y + 1/2$ ...②

連立方程式:

$$\begin{cases} 12x + 10y = 18 \ x = y + 1/2 \end{cases}$$

連立方程式を解く:

②の式を①に代入します。

$12(y + 1/2) + 10y = 18$

$12y + 6 + 10y = 18$

$22y = 12$

$y = 12/22 = 6/11$ 時間

$x = y + 1/2 = 6/11 + 1/2 = 12/22 + 11/22 = 23/22$ 時間

答え:

太郎君がA地点を出発してから出会うまでの時間は $23/22$ 時間です。

A地点から出会うまでの距離は、太郎君が進んだ距離なので:

$12 \times x = 12 \times (23/22) = 6 \times (23/11) = 138/11$ km。

解説:

この問題では、2人の進んだ距離の合計と、2人の時間の差から式を立てました。時間の差を式にする際には、どちらがどれだけ長く進んでいるかを正確に把握し、単位を統一することが重要です。

採点ポイント:

• 未知数を適切に設定できているか（$x, y$ がそれぞれ何を表すか）。
• 距離に関する式 ($12x + 10y = 18$) を正しく立てられているか。
• 時間に関する式 ($x = y + 1/2$) を正しく立てられているか。特に、時間の差と単位換算（30分を1/2時間）ができているか。
• 連立方程式を正しく解き、最終的な答えを導き出せているか。

関連単元へのつながり:

連立方程式の文章問題は、速さの問題だけでなく、割合（食塩水の濃度、売買損益など）、個数と代金、年齢、割合など、様々な分野で応用されます。どの問題でも共通して重要なのは、「何を文字で置くか」と「2つの等しい関係（または合計や差などの条件）を見つけて式を立てる」という手順です。この考え方は、中学3年生で学習する二次方程式や、高校で学習する様々な応用問題の基礎となります。