【高1数学】三乗の展開公式の符号ミスを防ぐ手順

皆さんが高校数学で学習する「三乗の展開公式」は、一見複雑に見えるかもしれませんが、いくつかのポイントを押さえればスムーズに覚えることができます。特に符号の扱いは間違えやすいので、その注意点も合わせて解説していきます。

1. 三乗の展開公式とは？

まず、中学校や高校数学Iで学習した二乗の展開公式を思い出してみましょう。

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

これらの公式は、括弧の中の式を2回かけることで得られますね。

三乗の展開公式も同様に、括弧の中の式を3回かけることで得られます。数学IIで学習する主な三乗の展開公式は以下の2つです。

1. $(a+b)^3$
2. $(a-b)^3$

これらの公式を理解し、正しく使えるようになることが目標です。

2. $(a+b)^3$ の展開公式

公式

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

導出（なぜこうなるの？）

この公式は、$(a+b)^2$ の展開結果を利用して導くことができます。

$$(a+b)^3 = (a+b)^2 (a+b)$$

$$= (a^2 + 2ab + b^2)(a+b)$$

それぞれの項を丁寧にかけ算していきます。

$$= a^2 \cdot a + a^2 \cdot b + 2ab \cdot a + 2ab \cdot b + b^2 \cdot a + b^2 \cdot b$$

$$= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$$

同類項をまとめると、

$$= a^3 + (1+2)a^2b + (2+1)ab^2 + b^3$$

$$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

このようにして公式が得られます。

覚え方のポイント

この公式の係数 $(1, 3, 3, 1)$ に注目してください。これは「パスカルの三角形」というものと関係があります。

パスカルの三角形は、二項展開の係数を表す図です。

• 1段目: 1 ( $(a+b)^0$ の係数)
• 2段目: 1, 1 ( $(a+b)^1$ の係数)
• 3段目: 1, 2, 1 ( $(a+b)^2$ の係数)
• 4段目: 1, 3, 3, 1 ( $(a+b)^3$ の係数)

各段の数字は、その上にある2つの数字を足し合わせることで作られます。

また、各項の文字に注目すると、

• $a$ の指数は $3 o 2 o 1 o 0$ と減っていく。
• $b$ の指数は $0 o 1 o 2 o 3$ と増えていく。
• 各項の $a$ と $b$ の指数の合計は常に $3$ になる。

これらの規則性を理解すると、丸暗記よりも覚えやすくなります。

3. $(a-b)^3$ の展開公式

公式

$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

導出（なぜこうなるの？）

この公式は、$(a+b)^3$ の公式で $b$ を $-b$ に置き換えることで簡単に導くことができます。

$$(a+(-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3$$

$$= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

覚え方と符号の間違えやすい点

$(a-b)^3$ の公式は、$(a+b)^3$ の公式と非常に似ていますが、符号が交互に現れるのが特徴です。

• $(a+b)^3$: $a^3 \underline{+} 3a^2b \underline{+} 3ab^2 \underline{+} b^3$ （すべてプラス）
• $(a-b)^3$: $a^3 \underline{-} 3a^2b \underline{+} 3ab^2 \underline{-} b^3$ （プラス、マイナス、プラス、マイナスと交互）

なぜ交互になるのかというと、$-b$ を奇数回かけるとマイナスになり、偶数回かけるとプラスになるからです。

• $3a^2(-b)^1 = -3a^2b$ （$-b$ が1回なのでマイナス）
• $3a(-b)^2 = 3ab^2$ （$-b$ が2回なのでプラス）
• $(-b)^3 = -b^3$ （$-b$ が3回なのでマイナス）

この符号の規則性を意識することで、間違えにくくなります。

4. 具体的な展開例

実際に公式を使って展開してみましょう。

例1: $(x+2)^3$ を展開する

これは $(a+b)^3$ の公式で $a=x$, $b=2$ とした場合です。

$$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3$$

$$= x^3 + 6x^2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8$$

$$= x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

例2: $(2x-y)^3$ を展開する

これは $(a-b)^3$ の公式で $a=2x$, $b=y$ とした場合です。

$$(2x-y)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2 y + 3(2x)y^2 - y^3$$

$$= 8x^3 - 3(4x^2)y + 6xy^2 - y^3$$

$$= 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$$

特に $(2x)^3$ や $(2x)^2$ のように、複数の文字や数字を含む項を $a$ や $b$ と置き換える際には、括弧をしっかりつけて計算することが重要です。

5. まとめと学習のポイント

三乗の展開公式は、以下の2つです。

• $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

符号の間違えやすい点と対策

• $(a+b)^3$ は、すべての項がプラスです。
• $(a-b)^3$ は、「マイナス、プラス、マイナス」と符号が交互に出てきます。これは、$-b$ を奇数回かける項がマイナスになるためです。

学習のポイント

1. 公式の形を覚える: $a^3, a^2b, ab^2, b^3$ の並びと、係数 $(1, 3, 3, 1)$ を意識しましょう。
2. 符号の規則性を理解する: 特に $(a-b)^3$ の符号の交互性を意識して使い分けましょう。
3. 繰り返し練習する: 実際に様々な式を展開することで、公式をスムーズに使えるようになります。特に、数字や複数の文字を含む項を代入する練習をたくさん行いましょう。

これらのポイントを押さえて、三乗の展開公式をマスターしてくださいね。